Aritmetinių uždavinių sprendimas. Paprastos teksto aritmetinės problemos (jų klasifikacija, pavyzdžiai ir sprendimai)

namai

Programos

Mokymasis spręsti tekstinius uždavinius vaidina svarbų vaidmenį plėtojant matematines žinias. Žodiniai uždaviniai suteikia daug galimybių lavinti mokinių mąstymą. Mokymasis spręsti problemas – tai ne tik teisingų atsakymų kai kuriose tipinėse situacijose gavimo technikos mokymas, bet ir kūrybiško požiūrio į sprendimą mokymasis, protinės veiklos patirties įgijimas ir matematikos gebėjimų demonstravimas mokiniams sprendžiant įvairias problemas. problemų. Tačiau 5-6 klasėse sprendžiant tekstinius uždavinius dažniausiai naudojama lygtis. Tačiau penktokų mąstymas dar nėra paruoštas formalioms lygčių sprendimo procedūroms. Aritmetinis uždavinių sprendimo metodas turi nemažai privalumų, palyginti su algebriniu metodu, nes kiekvieno veiksmų žingsnio rezultatas yra aiškesnis ir konkretesnis, neperžengia penktokų patirties. Mokiniai geriau ir greičiau sprendžia uždavinius naudodami veiksmus nei naudodami lygtis. Vaikų mąstymas yra konkretus, jis turi būti lavinamas konkrečiais objektais ir kiekiais, po to palaipsniui pereinama prie operacijos su abstrakčiais vaizdais.

Atliekant užduotį reikia atidžiai perskaityti sąlygos tekstą, suprasti kiekvieno žodžio reikšmę. Pateiksiu problemų, kurias galima lengvai ir paprastai išspręsti naudojant aritmetiką, pavyzdžius.

1 užduotis. Norėdami pagaminti uogienę, paimkite dvi dalis aviečių ir tris dalis cukraus. Kiek kilogramų cukraus reikia suvartoti 2 kg 600 g aviečių?

Spręsdami problemą į „daleles“, turite išmokti vizualizuoti problemos sąlygas, t.y. Geriau pasikliauti piešiniu.

2600:2=1300 (g) – tenka vienai uogienės daliai;
1300*3= 3900 (g) - reikia imti cukrų.

2 užduotis. Pirmoje lentynoje knygų buvo 3 kartus daugiau nei antroje. Dviejose lentynose kartu buvo 120 knygų. Kiek knygų buvo kiekvienoje lentynoje?

1) 1+3=4 (daliai) - visų knygų sąskaitos;

2) 120:4=30 (knygos) - viena dalis (knygos antroje lentynoje);

3) 30*3=90 (knygos) - stovėjo pirmoje lentynoje.

3 užduotis. Fazanai ir triušiai sėdi narve. Iš viso yra 27 galvos ir 74 kojos. Sužinokite fazanų skaičių ir triušių skaičių narve.

Įsivaizduokime, kad ant narvo, kuriame sėdi fazanai ir triušiai, dangčio uždedame morką. Tada visi triušiai atsistos ant užpakalinių kojų, kad jį pasiektų. Tada:

27*2=54 (kojos) - stovės ant grindų;
74-54=20 (kojos) – bus viršuje;
20:2=10 (triušiai);
27-10=17 (fazanai).

4 užduotis. Mūsų klasėje mokosi 30 mokinių. Į muziejų ekskursiją vyko 23 žmonės, o į kiną – 21, o 5 žmonės nevažiavo nei į ekskursiją, nei į kiną. Kiek žmonių vyko ir į ekskursiją, ir į kiną?

„Eulerio apskritimai“ gali būti naudojami būklei analizuoti ir sprendimo planui pasirinkti.

30-5=25 (asm.) – ėjo arba į kiną, arba į ekskursiją,
25-23=2 (asmuo) – ėjo tik į kiną;
21-2=19 (asm.) – ėjo į kiną ir į ekskursiją.

5 užduotis. Trys ančiukai ir keturi žąsiukai sveria 2 kg 500 g, o keturi ančiukai ir trys žąsiukai sveria 2 kg 400 g. Kiek sveria vienas žąsiukas?

2500+2400=2900 (g) – sveria septyni ančiukai ir septyni žąsiukai;
4900:7=700 (g) – vieno ančiuko ir vieno žąsiuko svoris;
700*3=2100 (g) – 3 ančiukų ir 3 žąsiukų svoris;
2500-2100=400 (g) – vikšro svoris.

6 užduotis. Dėl darželis nupirko 20 piramidžių: didelių ir mažų – po 7 ir 5 žiedus. Visos piramidės turi 128 žiedus. Kiek ten buvo didelių piramidžių?

Įsivaizduokime, kad iš visų didžiųjų piramidžių pašalinome du žiedus. Tada:

1) 20*5=100 (žiedai) – kairėje;

2) 128-100-28 (žiedai) – nuėmėme;

3) 28:2=14 (didelės piramidės).

7 užduotis. 20 kg sveriančiame arbūze buvo 99% vandens. Kai jis šiek tiek išdžiūvo, vandens kiekis sumažėjo iki 98%. Nustatykite arbūzo masę.

Patogumui prie sprendimo bus pridėta stačiakampių iliustracija.

99% vandens	1% sausosios medžiagos
98% vandens	2% sausosios medžiagos

Tokiu atveju „sausosios medžiagos“ stačiakampius patartina nubrėžti lygius, nes „sausųjų medžiagų“ masė arbūze išlieka nepakitusi.

1) 20:100=0,2 (kg) – „sausosios medžiagos“ masė;

2) 0,2:2=0,1 (kg) – sudaro 1% džiovinto arbūzo;

3) 0,1*100=10 (kg) – arbūzo masė.

8 užduotis. Svečiai klausė: kiek kiekvienai iš trijų seserų metų? Vera atsakė, kad jai ir Nadiai kartu buvo 28 metai, Nadjai ir Lyubai kartu buvo 23 metai, o visoms trims - 38 metai. Kiek kiekvienai seseriai metų?

38-28=10 (metai) – Liuba;
23-10=13 (m.) – Nadia;
28-13=15 (metai) – Vera.

Aritmetinis žodinių uždavinių sprendimo metodas moko vaiką veikti sąmoningai, logiškai teisingai, nes taip sprendžiant didėja dėmesys klausimui „kodėl“ ir atsiranda didelis vystymosi potencialas. Tai prisideda prie mokinių tobulėjimo, domėjimosi problemų sprendimu ir pačiu matematikos mokslu formavimo.

Kad mokymasis būtų įmanomas, įdomus ir pamokantis, rinkdamiesi tekstinius uždavinius turite būti labai atsargūs, apsvarstykite įvairių būdų jų sprendimai, pasirenkant optimaliausius, ugdo loginį mąstymą, kuris būtinas ateityje sprendžiant geometrinius uždavinius.

Mokiniai gali išmokti spręsti problemas tik jas spręsdami. „Jei nori išmokti plaukti, drąsiai lipk į vandenį, o jei nori išmokti spręsti problemas, tai spręsk jas“, – knygoje „Matematinis atradimas“ rašo D. Polya.

Išspręskite matematikos uždavinį- tai reiškia, kad reikia rasti tokią seką Bendrosios nuostatos matematika, kurią taikydami uždavinio sąlygoms gauname tai, ką turime rasti – atsakymą.

Pagrindiniai tekstinių uždavinių sprendimo būdai yra aritmetiniai ir algebriniai metodai, taip pat kombinuoti.

Išspręsti problemą aritmetinis metodas - reiškia, kad atsakymo į uždavinio reikalavimą reikia rasti, atliekant aritmetines operacijas su uždavinyje pateiktais skaičiais. Tą pačią problemą galima išspręsti įvairiais aritmetiniais būdais. Jie skiriasi vienas nuo kito samprotavimo logika problemos sprendimo procese.

Išspręsti problemą algebrinis metodas - reiškia rasti atsakymą į problemos reikalavimą sudarant ir išsprendžiant lygtį ar lygčių sistemą.

Išspręskite algebriniu metodu pagal šią schemą:

1) nustatyti uždavinio tekste aptartus kiekius ir nustatyti jų ryšį;

2) įvesti kintamuosius (nežinomus dydžius žymėti raidėmis);

3) naudojant įvestus kintamuosius ir duomenis, uždaviniai sukuria lygtį arba lygčių sistemą;

4) išspręsti gautą lygtį arba sistemą;

5) patikrinkite rastas reikšmes pagal problemos sąlygas ir užrašykite atsakymą.

Kombinuotas sprendimo metodas apima ir aritmetinius, ir algebrinius sprendimo būdus.

Pradinėje mokykloje užduotys yra padalintos iš veiksmų skaičiaus sprendžiant paprastus ir sudėtinius. Vadinamos problemos, kuriose norint atsakyti į klausimą reikia atlikti tik vieną veiksmą paprastas. Jei norint atsakyti į užduoties klausimą reikia atlikti du ar daugiau veiksmų, tai tokios užduotys vadinamos junginys.

Sudėtinė problema, kaip ir paprasta, gali būti išspręsta naudojant įvairius metodus.

Užduotis.Žvejas pagavo 10 žuvų. Iš jų 3 karšiai, 4 ešeriai, likusios lydekos. Kiek lydekų pagavo žvejys?

Praktinis būdas.

Kiekvieną žuvį pažymėkime apskritimu. Pieškime 10 apskritimus ir pažymėkite sugautą žuvį.

L L L O O O O O

Norėdami atsakyti į problemos klausimą, jums nereikia atlikti aritmetinių operacijų, nes sugautų lydekų skaičius atitinka nepažymėtus apskritimus - jų yra trys .

Aritmetinis metodas.

1) 3+4=7(p) - sugauta žuvis;

2) 10 - 7 = 3(p) - sugautos lydekos.

Algebrinis metodas.

Tegul x yra sugautos lydekos. Tada visų žuvų skaičių galima parašyti taip: 3 + 4 + x. Pagal problemos sąlygas žinoma, kad žvejys pagavo tik 10 žuvų. Tai reiškia: 3 + 4 + x = 10. Išsprendę šią lygtį, gauname x = 3 ir taip atsakome į uždavinio klausimą.

Grafinis metodas.

karšių ešerių lydeka

Šis metodas, kaip ir praktinis, leis atsakyti į problemos klausimą neatliekant aritmetinių operacijų.

Matematikoje visuotinai priimta tai problemų sprendimo proceso padalijimas :

1) problemos teksto analizė, schematinis problemos fiksavimas, problemos tyrimas;

2) problemos sprendimo būdo radimas ir sprendimo plano sudarymas;

3) rasto plano įgyvendinimas;

4) rasto problemos sprendimo analizė, patikrinimas.

Problemos sprendimo būdai gali būti vadinami taip:

1) Analizė: a) kai samprotavimas pereina nuo to, ko ieškoma, prie problemos duomenų; b) kai visuma yra padalinta į dalis;

2) Sintezė: a) pereinant nuo užduoties duomenų prie reikalingų;
b) kai elementai sujungiami į visumą;

3) Problemos performulavimas (aiškiai suformuluoti tarpiniai uždaviniai, kurie iškyla ieškant sprendimo);

4) Indukcinis uždavinio sprendimo būdas: remiantis tiksliu brėžiniu, nustatyti figūros savybes, padaryti išvadas ir jas įrodyti;

5) Analogijos taikymas (prisiminti panašią užduotį);

6) Prognozavimas – rezultatų, kuriuos gali sukelti paieška, numatymas.

Pažiūrėkime atidžiau problemos sprendimo procesas:

Judėjimo užduotis. Atstumą upe tarp dviejų prieplaukų laivas nuplaukė per 6 valandas, o atgal – per 8 valandas. Kiek laiko užtruks palei upę nutiestas plaustas, kad nuvažiuotų atstumą tarp molų?

Užduočių analizė. Problemoje mes kalbame apie apie du objektus: valtį ir plaustą. Laivas turi savo greitį, o plaustas ir upė, kuria plaukia valtis ir plaustas, turi tam tikrą srauto greitį. Štai kodėl laivas upe nuplaukia per trumpesnį laiką (6 val.) nei prieš srovę (8 val.). Tačiau šie greičiai nėra nurodyti užduotyje, kaip ir atstumas tarp prieplaukų nežinomas. Tačiau reikia surasti ne šiuos nežinomuosius, o laiką, per kurį plaustas nukeliaus šį atstumą.

Scheminis žymėjimas:

Valtis 6 valandos

plaustu valtis

Rasti būdą išspręsti problemą. Turime rasti laiko, per kurį plaustas nukeliauja atstumą tarp prieplaukų A ir B. Norėdami rasti šį laiką, turite žinoti atstumą AB ir upės tėkmės greitį. Abu jie nežinomi, todėl atstumą AB pažymėkime raide S (km), ir dabartinį greitį ir km/val. Norėdami susieti šiuos nežinomus duomenis su problemos duomenimis, turite žinoti paties valties greitį. Jis taip pat nežinomas, tarkime, kad jis yra lygus V km/val. Taigi atsiranda sprendimo planas, kurį sudaro įvestų nežinomųjų lygčių sistemos sukūrimas.

Problemų sprendimo įgyvendinimas. Tegul atstumas būna S (km), upės tėkmės greitis ir km/h, paties laivo greitis V km/val, o reikalingas plausto judėjimo laikas lygus x val.

Tada valties greitis upe yra (V+a) km/val. Už nugaros 6h kateris, judėdamas tokiu greičiu, įveikė atstumą S (km). Todėl 6 ( V + a) =S(1). Šis laivas plaukia prieš srovę greičiu ( V - a)km/val ir ji praeina šį kelią 8 valandos, todėl 8 ( V - a) =S(2). Plaustas, plaukiantis upės greičiu ir km/h, nuplaukė distanciją S (km) už nugaros x h, vadinasi, Oi =S (3).

Gautos lygtys sudaro nežinomųjų lygčių sistemą a, x, S, V. Kadangi reikia tik rasti X, tada bandysime neįtraukti likusių nežinomųjų.

Norėdami tai padaryti, iš (1) ir (2) lygčių randame: V + a = , V - a = . Iš pirmosios lygties atėmę antrąją, gauname: 2 A= - . Iš čia a = . Pakeiskime rastą išraišką į (3) lygtį: x = . Kur x= 48 .

Tirpalo tikrinimas. Nustatėme, kad atstumą tarp molų plaustas įveiks per 48 valandas, todėl jo greitis, lygus upės tėkmės greičiui, lygus . Valties greitis upe lygus km/h, ir prieš srovę km/val Norint patikrinti sprendimo teisingumą, pakanka patikrinti, ar laivo greičiai, nustatyti dviem būdais, yra vienodi: + Ir
- . Atlikę skaičiavimus, gauname teisingą lygybę: = . Tai reiškia, kad problema buvo išspręsta teisingai.

Atsakymas: Plaustas atstumą tarp prieplaukų įveiks per 48 valandas.

Sprendimo analizė. Šios problemos sprendimą sumažinome iki trijų keturių nežinomųjų lygčių sistemos. Tačiau teko rasti vieną nežinomą. Todėl ir kyla mintis, kad šį sprendimą ne pati sėkmingiausia, nors ir paprasta. Galime pasiūlyti kitą sprendimą.

Žinodami, kad atstumą AB kateris upe nuplaukė per 6 val., o prieš srovę – per 8 val., nustatome, kad per 1 valandą valtis, eidama upės tėkme, dalį šio atstumo įveikia ir prieš srovę. Tada skirtumas tarp jų - = yra du kartus didesnis už atstumą AB, kurį plaustas įveikė per 1 valandą. Reiškia. Plaustas dalį atstumo AB įveiks per 1 valandą, todėl visą atstumą AB įveiks per 48 valandas.

Taikant šį sprendimą, mums nereikėjo kurti lygčių sistemos. Tačiau šis sprendimas yra sudėtingesnis nei pateiktas aukščiau (ne kiekvienas atspės rasti valties greičio skirtumą palei srovę ir prieš upės srovę).

Pratimai savarankiškam darbui

1. Turistas, nuplaukęs upe plaustu 12 km, grįžo atgal valtimi, kurios greitis stovinčiame vandenyje yra 5 km/h, per visą kelionę praleisdamas 10 valandų Raskite upės greitį.

2. Vienoje dirbtuvėje per tą patį laikotarpį turi būti pasiūti 810 kostiumų, kitoje - 900 kostiumų. Pirmieji įvykdyti užsakymai likus 3 dienoms, o antrasis – 6 dienos iki termino pabaigos. Kiek kostiumų per dieną pasiuvo kiekviena dirbtuvė, jei antroji per dieną pasiuvo 4 kostiumais daugiau nei pirmoji?

3. Iš dviejų stočių, kurių atstumas yra 400 km, vienas kito link pajuda du traukiniai. Po 4 valandų atstumas tarp jų sumažėjo iki 40 km. Jei vienas iš traukinių išvyktų 1 valanda anksčiau nei kitas, tada jie susitiktų kelionės viduryje. Nustatykite traukinių greitį.

4. Viename sandėlyje yra 500 tonų anglies, o kitame - 600 tonų.Pirmasis sandėlis kasdien aprūpina 9 tonas, o antrasis - 11 tonų anglies. Po kiek dienų sandėliuose bus tiek pat anglies?

5. Indėlininkas iš taupomosios kasos paėmė 25% savo pinigų, o po to 64 000 rublių. Po to sąskaitoje liko 35% visų pinigų. Koks buvo indėlis?

6. Dviženklio skaičiaus ir jo skaitmenų sumos sandauga yra 144. Raskite šį skaičių, jei jo antrasis skaitmuo yra 2 didesnis už pirmąjį.

7. Aritmetiniu metodu išspręskite šiuos uždavinius:

a) Pakeliui palei upę motorinė valtis praleido 6 valandas, o atgal - 10 val.. Valties greitis stovinčiame vandenyje 16 km/val. Koks upės tėkmės greitis?

c) Stačiakampio lauko ilgis – 1536 m, plotis – 625 m. Vienas traktorininkas šį lauką gali suarti per 16 dienų, kitas – per 12 dienų. Kiek ploto abu traktorininkai suars dirbdami 5 dienas?

Švietimo skyrius

Jaroslavlio srities valstybinė institucija

„Švietimo vertinimo ir kokybės kontrolės centras“

„Aritmetiniai metodai

sprendžiant tekstinius uždavinius

matematika 5-6 klasėse

Metodinis tobulinimas

Orekhova Elena Jurievna,

matematikos mokytojai

Kryukovskajos vidurinės mokyklos savivaldybės švietimo įstaiga

Myshkinsky Maskvos sritis

Jaroslavlio sritis.

Mokslinis patarėjas:

pedagogikos mokslų kandidatas,

Jaroslavlis, 2006 m

ĮVADAS……………………………………………………………………………….

I SKYRIUS Žodinės problemos ir jų tipologija……………………………….

1.1. Žodinės problemos apibrėžimas………………………………………………………….

1.2 Žodinių uždavinių vaidmuo mokykliniame matematikos kurse……………….

1.3. Įvairūs požiūriai į tekstinių problemų klasifikavimą…………….

1.4. Žodinių uždavinių sprendimo etapai………………………………………………………

II SKYRIUS Mokinių mokymo spręsti tekstinius uždavinius aritmetiniu metodu metodai………………………………………………………………..

2.1. Studentų žinios ir įgūdžiai sprendžiant tekstinius uždavinius

užbaigimas pradinė mokykla…………………………………………..

2.2. Mokytojo darbo planavimas, siekiant išmokyti mokinius spręsti

žodiniai uždaviniai taikant aritmetinį metodą……………………………

2.3. Mokytojo darbo organizavimas kiekviename problemų sprendimo etape…….

2.3.1 Mokytojo darbo organizavimas užduoties sąlygomis……………..

2.3.2. Mokytojo darbo organizavimas rengiant sprendimo planą...

2.3.3. Sprendimo plano įgyvendinimas…………………………………….

2.3.4. Rasto sprendimo analizė ir darbas ieškant kitų

sprendimo variantai……………………………………………………….

2.4. Problemų „procesų“ sprendimo metodų formavimas……………..

2.4.1. Proceso laiko sampratos formavimasis………

2.4.2 Sąvokų apie proceso greitį formavimas

ir jo produktas (rezultatas)…………………………………………………………

2.4.3. Bendrų veiksmų sampratos formavimas………………….

2.5. Mokinių užduočių rengimas…………………………………………………………………

IŠVADA………………………………………………………………

BIBLIOGRAFIJA ……………………………………………………..

PARAIŠKA ………………………………………………………………..

Įvadas.

IN pastaraisiais metais Užduotis, kuri vaikams kelia didelių sunkumų matematikos pamokose: išspręskite uždavinį. Kodėl tai vyksta? Kodėl reikia mokyti vaikus spręsti tekstinius uždavinius ir kaip tai daryti? – tokius klausimus iškėliau šiame darbe.

Tradicinėje rusų mokykloje mokant matematiką žodiniai uždaviniai užėmė ypatingą vietą. Istoriškai ilgam laikui matematinės žinios buvo perduodamos iš kartos į kartą praktinių problemų su jų sprendimais sąrašo forma. Apmokytas asmuo buvo laikomas asmeniu, kuris žinojo, kaip išspręsti tam tikras praktikoje iškilusias problemas.

Laikui bėgant darbas su problemomis tobulėjo, buvo integruotas į sistemą, kuri turi tam tikros įtakos mokinių mąstymo ir kalbos raidai, lavina jų išradingumą ir intelektą, parodo mokomo ryšį su praktika.

Užduočių pagalba formuojami svarbūs bendrieji ugdymosi įgūdžiai, susiję su teksto analize, problemos sąlygų ir pagrindinio klausimo nustatymu, sprendimo plano sudarymu, sąlygų, iš kurių būtų galima gauti atsakymą į klausimą, paieška. pagrindinis klausimas, tikrinant gautą rezultatą. Prisidėjo prie aritmetinių metodų panaudojimo uždaviniams spręsti bendras vystymasis mokinių, lavinamas ne tik loginis, bet ir vaizdinis mąstymas, geresnis natūralios kalbos įsisavinimas, o tai padidino matematikos ir kitų disciplinų mokymo efektyvumą.

Apžvelgdami aritmetikos vaidmenį ir vietą mokyklinių dalykų sistemoje, bandydami patobulinti mokslinį matematikos pateikimą per anksčiau įvedant lygtis ir funkcijas, matematikai manė, kad per daug laiko skiriama mokant aritmetinius uždavinių sprendimo metodus. Tačiau aritmetiniai žodinių uždavinių sprendimo metodai yra būtent tai, kas paruošia vaiką algebros įvaldymui. Ir kai taip atsitiks, algebra pateiks studentui paprastesnius nei aritmetinius kai kurių uždavinių sprendimo būdus.

„Mūsų tradicinis buitinis matematikos mokymas turėjo daugiau aukštas lygis ir buvo pagrįsta aritmetinių problemų kultūra. Dar du dešimtmečius šeimos išlaikė senas „prekybininkų“ užduotis. Dabar tai prarasta. Naujausios matematikos mokymo reformos (60-ųjų pabaigoje) algebrazavimas paverčia moksleivius automatais. Būtent aritmetinis požiūris parodo mūsų dėstomos matematikos prasmingumą“, – rašė akademikas.

Tačiau į metodinė literatūra aritmetiniams uždavinių sprendimo metodams skiriama mažai dėmesio, todėl tikslas mano darbas yra tobulėjimas mokymo medžiaga mokyti 5-6 klasių mokinius spręsti tekstinius uždavinius aritmetiniu metodu.

Norėdamas pasiekti šį tikslą, susidūriau su tokiais dalykais užduotys:

Ø studijuoti psichologinę ir pedagoginę literatūrą šia tema;

Ø susipažinti su matematikos mokytojų, naudojančių aritmetinį tekstinių uždavinių sprendimo metodą, patirtimi ir analizuoti savo patirtį šia kryptimi;

Ø pagrįsti būtinybę 5-6 klasėse mokinius mokyti spręsti tekstinius uždavinius;

Ø parodyti aritmetinių metodų pranašumą sprendžiant tekstinius uždavinius;

Ø parengti ir pristatyti tekstinių uždavinių sprendimo mokymo metodą;

Ø pateikti mokymosi rezultatų analizę naudojant šį metodą.

Metodinę plėtrą sudaro įvadas, du skyriai, išvados ir priedas. Įvade pagrindžiamas pasirinktos temos aktualumas, apibrėžiamas darbo tikslas ir keliami uždaviniai. 1 skyriuje pateikiamas žodinio uždavinio apibrėžimas, įvairūs požiūriai į problemų klasifikavimą, parodomas žodinių uždavinių vaidmuo matematikos kurse, taip pat atskleidžiami uždavinių sprendimo aritmetiniu metodu etapai. 2 skyriuje pateikiamos metodinės rekomendacijos mokant spręsti tekstinius uždavinius aritmetiniu metodu; Pateikiamas mokytojo darbas kiekviename problemų sprendimo etape, išsamiau atskleidžiamas mokytojo darbo organizavimas mokant „apdoroti“ problemas.

I SKYRIUS.

TEKSTO PROBLEMOS IR JŲ TIPOLOGIJA.

1.1. Žodinės problemos apibrėžimas.

Norėdami išmokti spręsti problemas, turite suprasti, kas jos yra. Kas yra užduotis?

Žiūrint iš pusės, bet kokia užduotis yra reikalavimas arba klausimas, į kurį turi būti rastas atsakymas, remiantis ir atsižvelgiant į užduotyje nurodytas sąlygas.

Problemos, kuriose sąlygos ir reikalavimo santykis suformuluotas žodžiais, vadinamos tekstinėmis problemomis. Šiuo atveju pagrindinis problemos ir pavyzdžio skirtumas yra ne tik teksto buvimas, bet ir natūralia (ne matematine) kalba išreikštos sąlygos ar reikalavimo dalies buvimas. Pagal apibrėžimą problemos, kuriose bent vienas objektas yra realus objektas, vadinamos praktiniais (kasdieniais, tekstiniais, siužetais).

Teksto užduotis turiu omenyje užduotį, kurioje kalbame apie tikrus objektus, procesus, ryšius ir santykius. Realūs procesai yra judėjimas, darbas, baseinų užpildymas ir ištuštinimas, apsipirkimas, mišiniai, lydiniai ir kt. Šios terminijos laikosi pedagogikos mokslų kandidatas, matematikos vadovėlių ir mokymo priemonių autorius.

1.2 . Žodinių uždavinių vaidmuo mokykliniame matematikos kurse.

Galite trumpai nustatyti tekstinių uždavinių svarbą mokykliniame matematikos kurse. Darbas su užduotimi:

Lavina loginį mąstymą;

Padeda suvokti ir įtvirtinti skaičiavimo įgūdžius;

Ji turi didelę praktinę ir edukacinę reikšmę.

Štai kaip jis apibrėžia tekstinių problemų vaidmenį matematikos kurse:

1. Žodiniai uždaviniai yra svarbi matematikos mokymo priemonė. Jų pagalba mokiniai įgyja patirties dirbant su dydžiais, supranta jų tarpusavio ryšius, įgyja matematikos taikymo sprendiniams patirties. praktines problemas.

2. Aritmetinių metodų naudojimas sprendžiant uždavinius ugdo išradingumą ir sumanumą, gebėjimą kelti klausimus ir į juos atsakyti, tai yra ugdo prigimtinę kalbą, rengia moksleivius tolesniam mokymuisi.

3. Aritmetiniai žodinių uždavinių sprendimo metodai leidžia ugdyti gebėjimą analizuoti problemines situacijas, sudaryti sprendimo planą, atsižvelgiant į žinomų ir nežinomų dydžių ryšius (atsižvelgiant į problemos tipą), interpretuoti kiekvieno veiksmo rezultatą. problemos sąlygų pagrindus, patikrinti sprendimo teisingumą naudojant atvirkštinę problemą, tada suformuluoti ir ugdyti svarbius bendruosius ugdymosi įgūdžius.

4. Aritmetiniai žodinių uždavinių sprendimo metodai pripratina vaikus prie pirmųjų abstrakcijų, leidžia ugdyti loginę kultūrą, gali prisidėti prie palankaus emocinio fono mokymuisi kūrimo, estetinio moksleivių jausmo, susijusio su problemų sprendimu, ugdymo. ( gražus sprendimas!) ir matematikos studijos, pirmiausia sužadinančios domėjimąsi problemos sprendimo paieškos procesu, o paskui – studijuojamu dalyku.

5. Vaiko mokymas ir auklėjimas daugeliu atžvilgių primena žmogaus raidos tarpsnius, todėl senovinių uždavinių ir įvairių aritmetinių metodų panaudojimas joms sprendžiant leidžia matematiką dėstyti istoriniame kontekste, o tai didina mokymosi ir mokymosi motyvaciją bei ugdo kūrybinį potencialą.

Kol vaikus mokysime rusiškai - ne tik puiku ir galinga, bet ir gana sunku, tuo tarpu norime išmokyti juos lyginti, pasirinkti paprasčiausią būdą tikslui pasiekti, tuo tarpu neapleidome lankstumo ir kritinio mąstymo ugdymo. , kol bandome susieti matematikos mokymą su gyvenimu, mums bus sunku išsiversti be tekstinių uždavinių – tradicinės matematikos mokymo priemonės rusiškai metodikai.

1.3. Įvairūs požiūriai į tekstinių problemų klasifikavimą.

Yra įvairių požiūrių į tekstinių problemų klasifikavimą. Apie uždavinių tipologiją galime kalbėti pagal sprendimo būdus: aritmetinę (veiksmais ar sudarant išraišką), algebrinę (sudarant lygtį, lygčių ar nelygybių sistemą), geometrinę (naudojant panašumą, figūrų plotus ir kt.) . Tačiau ši tipologija, kaip ir bet kuri kita, yra sąlyginė, nes tą pačią problemą galima išspręsti tiek algebriniais, tiek aritmetiniais metodais.

vidurio SSRS susiformavo išplėtota uždavinių tipologija, kuri apėmė: dalių uždavinius, dviejų skaičių radimą pagal jų sumą ir skirtumą, pagal jų santykį ir sumą (skirtumą), trupmenomis, procentais. , apie bendrą darbą ir kt. Mokymo metodai problemų sprendimas buvo išplėtotas gana gerai, tačiau jų įgyvendinimas praktikoje nebuvo be trūkumų. Taip akademikas apibūdino tuo metu mūsų šalyje susiformavusią problemų sprendimo mokymo praktiką: „Studentai - viena ar kita tvarka - supažindinami su atitinkamomis problemų „rūšimis“, o mokymasis spręsti problemas dažnai susiveda į receptai ir „koučingas“, į pasyvų mokinių įsiminimą nedidelį skaičių standartinių sprendimo būdų ir atpažinimą pagal tam tikrus ženklus, kuriuos iš jų reikėtų taikyti konkrečiu atveju... Rezultatas – visiškas bejėgiškumas ir nesugebėjimas orientuotis paprasčiausia aritmetika situacijos, sprendžiant grynai praktines problemas...“ Tačiau keisti Reikėjo ne technikos, o netinkamos jos taikymo praktikos.

Aritmetinių problemų, susijusių su įvairūs procesai- darbas, judėjimas, energijos suvartojimas, baseinų užpildymas ir ištuštinimas ir t.t. - juose matote orientaciją į tris tarpusavyje susijusius dydžius: proceso greitį, laiką, kurio reikia, kad įvyktų ir produktas (rezultatas). Nurodyti kiekiai sudaro visų šių užduočių esmę.

Tiesą sakant, palyginkime šias užduotis:

1) Viename kolūkyje buvo paruošta 2400 centnerių šieno karvėms ir arkliams šerti. Kiek dienų užteks šieno, jei karvėms per dieną išleidžiama 8 centneriai, o arkliams – 4 centneriai?

2) Iš dviejų miestų, kurių atstumas yra 760 km, vienas kito link vienu metu išvažiuoja du traukiniai, vienas 50 km/h, kitas 45 km/h greičiu. Po kiek valandų jie susitiks?

3) Du mechanikai, kurie dirba vienu metu, gauna užduotį pagaminti 120 dalių. Kiek laiko užtruks, kol bus atlikta ši užduotis, jei vienas mechanikas per valandą pagamina 7 dalis, o kitas – 5 dalis?

4) Vienu metu atidaromi trys čiaupai, kiekvienas iš jų teka 150 litrų per valandą. Kiek laiko turėtų užtrukti čiaupų uždarymas, jei reikia išpilti 1350 litrų alyvos?

Visos 4 problemos turi skirtingą dalyko turinį, bet turi tą pačią matematinę struktūrą. Visose problemose būtina išsiaiškinti kokio nors proceso atsiradimo laiką bendrų veiksmų situacijoje.

Taigi, kaip ji rašė straipsnyje „Bendrųjų aritmetinių uždavinių sprendimo technikų formavimas“: „Aritmetinių uždavinių spausdinimo pagrindas turėtų būti uždavinio teiginyje pateiktų dydžių ryšių ypatybės, o ne siužetas.

Preliminari analizė parodė, kad užduotys apie „procesus“ ir užduotys apie „pirkimą ir pardavimą“ turi identišką santykių sistemą, kad skiriasi tik konkretus dalykas, tokiu atveju nėra reikšmingas. Galima rasti analizės metodą, leidžiantį studentams priartėti prie šių dviejų didelės klasės aritmetines problemas kaip to paties tipo atmainas

Kita vertus, tai atveria galimybę nagrinėjamą techniką perkelti į fizikos kursą, kur ją galima sėkmingai pritaikyti ne tik tiriant judesį, bet ir nustatant slėgį, tankį, mechaninę galią ir kt.“

1.3 Žodinių uždavinių sprendimo etapai.

Problemos sprendimas reiškia procesą, kuris yra būtinos veiksmų sekos paieška, pagrįsta problemos sąlygų ir reikalavimų analize, siekiant nustatyti problemos rezultatą; šių veiksmų atlikimas ir rezultato gavimas, pastarojo analizė ir įvertinimas.

Matematikos mokymo metodikoje išryškiname

4 pagrindiniai problemos sprendimo proceso etapai:

1) suprasti užduoties tekstą ir analizuoti jo turinį;

2) sprendimo paieška ir sprendimo plano sudarymas;

3) sprendimo plano įgyvendinimas;

4) rasto sprendimo analizė, kitų sprendimų paieška.

Kai dirbate su žodine problema PirmasŠis etapas apima pradinį darbą, siekiant suprasti siužetą, nustatyti situaciją apibūdinančius dydžius, nustatyti įvairias priklausomybes tarp šių dydžių ir nustatyti ryšius, kuriuos nurodo problemos sąlyga. Tokios išankstinės analizės rezultatai dažnai patogiai užrašomi schematiškai. Paprastai jie sako: „Užsirašykite trumpai“. Dėl įvairių tipų Užduočių trumpos pastabos gali būti skirtingos. Tai gali būti daroma lentelės, linijinių ar stulpelių diagramų, scheminių brėžinių, brėžinių ir tt forma. Toks įrašas skirtas medžiagos schematizavimui ir leidžia vienu metu matyti visus ryšius tarp duomenų.

Antra Mokiniams sunkiausias yra užduoties darbo etapas. Jo rezultatas turėtų būti matematinis situacijos modelis. Sprendimo paieška gali užtrukti ilgiausiai puiki vieta V bendras procesas sprendimus. Tuo pačiu metu gana dažnai sprendimo tenka ieškoti ne vieną kartą, kai vykdydami rastą sprendimą įsitikiname jo klaidingumu ar sudėtingumu. Labai svarbu kiekvieną kartą, kai nepavyksta sprendimo ieškoti, grįžti prie problemos sąlygų analizės.

Sprendimo planas sudaromas dviem būdais: analitinis ir sintetinis. Sprendimo metodo analizę patogu pradėti nuo klausimo apie problemą ir ją atlikti pagal schemą: norint išsiaiškinti, reikia žinoti... Šis metodas yra analitinis. Kartais sprendimo paieška atliekama sintetiniu būdu. Remiantis duomenimis, sąlygos sudaro pirmąją paprastą problemą. Ją sprendžiant gautas rezultatas ir vienas iš pagrindinės problemos dydžių leidžia sukurti naują paprastą uždavinį; Tai daroma tol, kol atsakymas į paskutinę paprastą problemą yra atsakymas į pagrindinės užduoties klausimą.

Ieškant sprendimo, analizė ir sintezė dažniausiai naudojami vienu metu, tai yra analitinis-sintetinis metodas. Šiuo atveju studentas turi sugebėti:

1) išversti santykius tarp dydžių į lygybių kalbą;

2) užrašyti ryšius tarp dydžių naudojant žinomų procesų formules ir išreikšti dydžius iš formulių.

1 lentelė.

Pagrindiniai santykiai ir jų vertimas į lygybių kalbą.

Taikydamas aritmetinį sprendimo metodą, mokinys turi gebėti uždavinyje rasti tris tarpusavyje susijusius dydžius ir, naudodamas du žinomus, rasti nežinomąjį.

Taigi, norint sėkmingai išspręsti „procesų“ problemas, reikia suprasti ryšius tarp dydžių: proceso greičio (v), laiko, kurio reikia įvykti (t) ir darbo produkto ar rezultato (-ų).

s=v t v=s:t t=s:v

Be to, svarbu suprasti šių dydžių ryšius tiek vieno proceso dalyvio sąlygomis, tiek kelių dalyvių sąlygomis.

Trečias Darbo su problema etapas apima sukonstruoto matematinio modelio sprendimą, matematinio modelio sprendimo rezultato interpretavimą tam tikroje situacijoje. Problemos sprendimo paaiškinimas gali būti toks:

1. Prieš spręsdami problemą, sudarykite visą planą ir imkitės veiksmų kiekviename plano taške.

2. Trumpas klausimas, po kurio seka veiksmas.

3. Trumpas gautų rezultatų paaiškinimas.

4. Visų veiksmų atlikimas, po kurio pateikiamas išsamus viso problemos sprendimo paaiškinimas žodžiu.

5. Išsamių klausimų pareiškimas ir sprendimai.

Praktikoje dažniausiai naudojami pirmieji trys paaiškinimų tipai.

Įjungta ketvirta Darbo su problema etape būtina patikrinti sprendimo rezultatą, palyginti rezultatą su problemos sąlygomis ir patikrinti jo tikslumą. Šiame etape gali būti pasiūlyti kiti sprendimai. Racionaliausio sprendimo būdo suradimas pažadina mokinio mintis, ugdo jo išradingumą ir atitraukia jį nuo šablono, o kartu padidina susidomėjimą darbu.

Galiausiai, jei mokinys išmoks atidžiai, apgalvotai analizuoti problemą, apgalvotai išspręsti kiekvieną problemą, įsirašydamas į atmintį visus būdus, kuriais buvo rasti sprendimai ir sprendimo būdai, tada jis palaipsniui ugdys gebėjimą išspręsti bet kokią problemą, net jei tai nepažįstama. Garsus matematikas, Maskvos universiteto profesorius, atsakė į klausimą „Ką reiškia išspręsti problemą? trumpai atsakė: „Spręsti problemą reiškia ją sumažinti iki jau išspręstų“.

II SKYRIUS

MOKINIŲ SPRENDIMŲ MOKYMO METODIKA

TEKSTO PROBLEMOS ARITMETINIU METODU.

2.1. Mokinių žinios, gebėjimai, įgūdžiai sprendžiant tekstinius uždavinius baigiant pradinę mokyklą.

Iki 5 klasės pradžios mokiniai turėtų žinoti sąsajas tarp tokių kiekių kaip kaina, kiekis, savikaina; laikas, greitis, kelias tolygiai judant; gebėti pritaikyti žinias apie išmoktas priklausomybes sprendžiant tekstinius uždavinius. Tai pagrindiniai reikalavimai mokinių žinioms, gebėjimams ir gebėjimams, užtikrinantys tęstinumą su programoje reikalaujamu 5 klasės matematikos kursu.

Pagrindinis taikinys mokyti žodinių uždavinių sprendimo pradinėje mokykloje – vaikų sąmoningas aritmetinių veiksmų reikšmės įsisavinimas, santykiai „daugiau“ - „mažiau“ (keliais vienetais ir kelis kartus), „tas pats“ (arba „lygus“), ryšys tarp komponentų ir veiksmų rezultatų, atimties (dalybos) operacijų naudojimas skaičiams palyginti.

Todėl galime išskirti šias pagrindines užduotis, kurias turėtų sugebėti išspręsti pradinių klasių absolventai:

§ dydžių sumos radimas, jei šie dydžiai žinomi naudojant palyginimus „... daugiau“, „... mažiau“, „... kartų daugiau“, „... kartų mažiau“ tiesiogine ir netiesiogine forma ;

§ skirtumo tarp dydžių nustatymas naudojant atimties ir dalybos operacijas;

kaina-kiekis-kaina, medžiagų sunaudojimo norma 1 daiktui-daiktų skaičius-medžiagos suvartojimas bendras, greitis-laikas-atstumas;

§ rasti vieną iš trijų priklausomybės problemų dydžių:

2.2. Planavimas mokytojo darbas, mokantis spręsti tekstinius uždavinius aritmetiniu metodu.

Nepaisant pradinių klasių ugdymo programoje keliamų reikalavimų mokinių žinioms ir gebėjimams, mano darbo patirtis rodo, kad dauguma pradinių klasių mokinių ateina į 5 klasę turėdami nedidelį kiekį žinių ir įgūdžių būtent sprendžiant tekstinius uždavinius. Todėl pagrindinis mano darbo tikslas pirmose matematikos pamokose 5 klasėje kartojimo metu mokomoji medžiaga– nustatyti studentų žinių ir įgūdžių spragas, taip pat ir sprendžiant tekstinius uždavinius. Paprasčiausios užduotys vienu veiksmu gali būti įtrauktos į protinio aritmetikos pratimus (žr. 1 priedą). Spręsdami tokius uždavinius, mokiniai turėtų atkreipti dėmesį į tuos skaitinius duomenis, kurie išreiškiami ne tik skaičiais, bet ir žodžiais.

Kartais, analizuojant problemas, atrandama, kad kai kurie mokiniai nesugeba išversti žodžių į matematinę kalbą, kad galėtų palyginti dydžius. Tokiais atvejais naudoju lentelę, kurią sudarinėju kartu su mokiniais pirmose matematikos pamokose.

2 lentelė

Kaip minėta pirmiau, yra įvairių požiūrių į užduočių tipų apibrėžimą. Nepaisant to, kad bet kokia klasifikacija yra sąlyginė, be jos neįmanoma išsiversti. Savo darbe planuodama mokomąją medžiagą ir ruošdamasi pamokoms išskiriu kai kuriuos vadinamuosius pagrindines užduotis, kurios sprendimo būdus turi įsisavinti 5 ir 6 klasių mokiniai.

1. Užduotys procesams (judėjimui, darbui, baseinams)

2. Uždaviniai rasti du ar daugiau skaičių pagal jų sumą ir skirtumą; užduotys rasti du ar daugiau skaičių pagal jų sumą (skirtumą) ir santykį.

3. Spėliojimo problemos.

4. Problemos, susijusios su procentais.

5. Skaičiaus dalies ir skaičiaus iš jo dalies radimo uždaviniai.

6. Proporcinių priklausomybių uždaviniai.

Visos šios problemos turi naujų sprendimų. Todėl treniruotėms reikia rimtai pasiruošti.

Autoriaus vadovėliuose „Matematika 5“ ir „Matematika 6“, kuriuos naudoju, yra problemų skirtingi tipai„išsklaidytas“, nesusistemintas nei sudėtingumu, nei sprendimo metodais. Akivaizdu, kad siekiant sugriauti atsirandančius sprendimo stereotipus, paįvairinti mokinių veikimo būdus. Tačiau, mano nuomone, įsisavinant naują sprendimą, geriau vengti tokios įvairovės ir vadovautis „nuo paprasto iki sudėtingo“. Ir tik įvaldžius techniką bei įgudus ją naudoti, ją galima panaudoti sprendžiant įvairaus pobūdžio sudėtines problemas.

Tikslingiausias aritmetinis požiūris į žodinių uždavinių sprendimą atskleidžiamas vadovėliuose „Aritmetika 5“, „Aritmetika 6“ ir „Matematika 5“, „Matematika 6“.

Kadangi dirbu pagal vadovėlį, kuris skatina mokinius anksti įvesti lygtis ir algebriškai spręsti tekstinius uždavinius, teminis planavimas Aš šiek tiek pakoregavau probleminės medžiagos naudojimą (žr. 2 priedą).

2.3. Mokytojo darbo organizavimas kiekviename problemų sprendimo etape.

Kaip minėta aukščiau, darbas su užduotimi susideda iš 4 pagrindinių etapų. Be to, visi keturi etapai yra vienodai svarbūs. Todėl, spręsdami įvairaus pobūdžio problemas, atsižvelgsime į mokytojo ir mokinių darbą kiekviename atskirame etape.

2.3.1 Mokytojo darbo organizavimas pagal užduoties sąlygą.

Pirmajame etape būtina užtikrinti, kad mokiniai „priimtų užduotį“, tai yra suprastų jos prasmę, paversdami ją savo veiklos tikslu. Šiuo tikslu surašomas trumpas protokolas. Įvairių tipų užduotims tai gali būti daroma skirtingai.

1. Iš tos pačios stoties tuo pačiu metu priešingomis kryptimis išvyko du traukiniai. Vieno traukinio greitis – 50 km/h, kito – 85 km/h. Koks bus atstumas tarp traukinių po 3 valandų?

Patogu trumpai aprašyti šią užduotį (ir bet kokią judėjimo užduotį) scheminio brėžinio forma.

Grafinė iliustracija sukuria mokiniams erdvinį vaizdą ir padeda jiems atliekant judėjimo užduotis teisingai išdėstyti tuos fiksuotus taškus, su kuriais sąlyga jungia judantį objektą.

Dviejų ar daugiau dydžių pagal jų santykį ir sumą (arba skirtumą) radimo uždavinius, taip pat uždavinius, susijusius su dalimis, patogu parašyti trumpą žymėjimą segmentų pavidalu. Mokiniai turi išmokti priimti tinkamą kiekį kaip 1 dalį, nustatyti, kiek tokių dalių sudaro kitas dydis, pagal jų sumą (skirtumą).

Pavyzdžiui:

2. Už marškinius ir kaklaraištį sumokėjo 40 rublių. Marškiniai 4 kartus brangesni nei kaklaraištis. Kiek kainuoja kaklaraištis?

3. Pirmoje pakuotėje buvo 10 sąsiuvinių daugiau nei antrajame, o iš viso buvo 70 sąsiuvinių. Kiek sąsiuvinių buvo antroje pakuotėje?

Šią problemą galima apibendrinti juostos diagramos pavidalu.

4. Sanatorijai nupirkome 12 fotelių ir 50 kėdžių už bendrą 9880 rublių sumą. Kiek kainuoja viena kėdė, jei viena kėdė kainuoja 86 rublius?.

Galite padaryti trumpą įrašą naudodami lentelę:

		Kiekis	Kaina

5. Dviejuose kambariuose buvo 56 žmonės. Kai į pirmą atėjo 12 žmonių, o į antrą – 8 žmonių skaičius kambariuose susilygino. Kiek žmonių iš pradžių buvo kiekviename kambaryje?

Teisingai sudarytas trumpas užrašas parodo mokinio sąmoningą užduoties sąlygų ir reikalavimų analizę bei nubrėžia tolesnio sprendimo planą.

2.3.2. Mokytojo darbo organizavimas rengiant sprendimo planą.

Dažniausiai organizuojant problemos sprendimo paiešką naudojamas analitinis-sintetinis metodas.

Pažiūrėkime į samprotavimo planą naudodami 1 uždavinį kaip pavyzdį.

1. Iš tos pačios stoties tuo pačiu metu priešingomis kryptimis išvažiavo du traukiniai. Vieno traukinio greitis – 50 km/h, kito – 85 km/h. Koks bus atstumas tarp traukinių po 3 valandų?

Problema reikalauja išsiaiškinti atstumą tarp traukinių po 3 valandų.

Ką tam reikia žinoti?

S, kurį 1-asis traukinys pravažiavo per 3 valandas, ir s, kurį 2-asis traukinys pravažiavo per 3 valandas.

Ką reikia žinoti norint nustatyti šiuos atstumus?

- greitis kiekvienas traukinys, ir tai yra žinoma problema.

Sprendimo planas yra toks:

1) rasti s, kurias 1-asis traukinys pravažiavo per 3 valandas

2) rasti s, kurias 2-asis traukinys pravažiavo per 3 valandas

3) raskite bendrą atstumą.

Svarstomas problemos sprendimo plano sudarymo metodas yra analitinis. Kartais sprendimo paieška atliekama sintetiniu būdu. Pavyzdžiui, užduotis:

2. Jaunas darbuotojas užduotį atliko per 8 valandas, pagamindamas 18 dalių per valandą. Kiek valandų užtruks jo mentorius, kad atliktų tą pačią užduotį, jei jis per valandą atliks 6 dalimis daugiau nei jaunasis darbuotojas??

Trumpas įrašas

Kiekis

dalių per valandą

Darbo valandos

Iš viso dalių

tas pats

Mentorė

6 vaikams daugiau - 1 dalis

Kada nenaudoti formulinių skaičiavimo metodų

Puslapis 1

Aritmetinis sprendimas yra gana sudėtingas, tačiau problema išspręsta paprasčiausiai, jei atsigręžiama į algebrą ir sukuriama lygtis.

Aritmetiniame sprendime turi būti užrašomi visi plano klausimai ir atsakymai į juos tarnaujantys aritmetiniai veiksmai, o algebriniame – nežinomųjų pasirinkimo motyvai, sudarytos lygtys ir jų sprendimas.

Schultzas pateikė aritmetinį šios lygties sprendimą, naudodamas savavališkas konstantų reikšmes, ir padarė išvadą, kad frakcionavimo efektyvumas turėtų labai padidėti dirbant su praskiestais tirpalais.

Uždavinys leidžia išspręsti grynai aritmetinį sprendimą ir netgi galite apsieiti be operacijų su trupmenomis.

Dabar pateiksime aritmetinį šios problemos sprendimą – sprendimą, kuriame galima apsieiti visai nesudarant lygčių.

Galimi ir kiti aritmetiniai sprendimai.

Šiame skyriuje kai kurios problemos leidžia spręsti tiek algebrinius, tiek aritmetinius; jie gali būti naudojami peržiūrint aritmetikos kursą.

Jie apima aritmetinių operacijų naudojimą pagal problemos sprendimo planą. Aritmetinis sprendimas dažnai naudojamas skaičiuojant naudojant chemines formules ir lygtis, remiantis tirpalų koncentracijomis ir kt.

Bet čia pateikiame tik aritmetinius uždavinių sprendimus.

Mes neskirstome uždavinių į algebrines ir aritmetines, nes uždavinius, kuriuos galima išspręsti aritmetiškai, visada galima išspręsti algebriškai. Priešingai, problemos, išspręstos naudojant lygtis, dažnai sprendžia paprastesnius aritmetinius sprendimus. Sprendimų skyriuje kartais pateikiame aritmetinį, kartais algebrinį sprendimą, tačiau tai jokiu būdu neturėtų trukdyti studento iniciatyvai renkantis sprendimo būdą.

Štai netiesioginės problemos pavyzdys: 1 dm3 tūrio vario-cinko lydinio gabalas sveria 8 14 kg. Čia iš problemos teiginio neaišku, kokie veiksmai lemia jos sprendimą. Taikant vadinamąjį aritmetinį sprendimą, kartais reikia parodyti didelį išradingumą, norint nubrėžti netiesioginės problemos sprendimo planą. Kiekviena nauja užduotis reikalauja sukurti naują planą. Skaičiuoklės darbas išleidžiamas neracionaliai.

Norėdamas patvirtinti savo mintį, Petrovas sugalvojo problemas, kurios dėl nepasitikėjimo savimi labai apsunkino patyrusių, kvalifikuotų mokytojų darbą, tačiau jas nesunkiai išspręsdavo gabesni, studijų dar nesugadinti studentai. Tarp tokių problemų (Petrovas sudarė keletą jų) yra šienapjovių artelė. Žinoma, patyrę mokytojai galėjo nesunkiai tai išspręsti naudodami lygtį, tačiau paprastas aritmetinis sprendimas jiems nepavyko. Tuo tarpu problema tokia paprasta, kad jai spręsti neverta naudoti algebrinio aparato.

Štai netiesioginės problemos pavyzdys: dm3 tūrio vario-cinko lydinio gabalas sveria 8 14 kg. Čia iš problemos teiginio neaišku, kokie veiksmai lemia jos sprendimą. Taikant vadinamąjį aritmetinį sprendimą, kartais reikia parodyti didelį išradingumą, norint nubrėžti netiesioginės problemos sprendimo planą. Kiekviena nauja užduotis reikalauja sukurti naują planą. Skaičiuoklės darbas išleidžiamas neracionaliai.

Patirties apibendrinimas.

Tekstiniai uždaviniai mokykliniame matematikos kurse.

Aritmetiniai uždavinių sprendimo metodai.

Soldatova Svetlana Anatolevna

pirmos kategorijos matematikos mokytojas

savivaldybės ugdymo įstaiga Uglicho fizikos ir matematikos licėjus

2017 m

„...kol bandome susieti matematikos mokymą su gyvenimu, mums bus sunku išsiversti be tekstinių uždavinių – tradicinės matematikos mokymo priemonės pagal rusų metodiką.

A.V.Ševkinas

Kasdieniame gyvenime nuolat susiduriame su terminu „užduotis“. Kiekvienas iš mūsų sprendžia tam tikras problemas, kurias vadiname užduotimis. Plačiąja to žodžio prasme, pagalproblema suprantama kaip tam tikra situacija, kuri reikalauja žmogaus tyrimo ir sprendimo .

Problemos, kuriose objektai yra matematiniai (teoremų įrodymas, skaičiavimo pratimai, tiriamos matematinės sąvokos savybės ir atributai, geometrinė figūra), dažnai vadinamos.matematikos uždaviniai . Paprastai vadinamos matematinės problemos, kuriose yra bent vienas objektas, kuris yra realus subjektastekstą. Pradiniame matematikos mokyme žodinių uždavinių vaidmuo yra didelis.

Spręsdami tekstinius uždavinius mokiniai įgyja naujų matematinių žinių, ruošiasi praktinei veiklai. Užduotys padeda lavinti jų loginį mąstymą.

Yra įvairių tekstinių uždavinių sprendimo būdų: aritmetiniai, algebriniai, geometriniai, loginiai, praktiniai ir kt. Kiekvienas metodas yra pagrįstas skirtingų tipų matematiniais modeliais. Pavyzdžiui, kadaalgebrinis metodas uždaviniui išspręsti sudaromos lygtys arba nelygybės, sugeometrinis - sudaromos diagramos arba grafikai. Problemos sprendimaslogiška metodas prasideda nuo algoritmo sudarymo.

Reikėtų nepamiršti, kad beveik kiekviena pasirinkto metodo problema gali būti išspręsta naudojant įvairius modelius. Taigi, naudojant algebrinį metodą, atsakymas į tos pačios problemos reikalavimą gali būti gautas sudarant ir sprendžiant visiškai skirtingas lygtis, naudojant loginį metodą - konstruojant skirtingus algoritmus. Aišku, kad šiais atvejais susiduriame ir su įvairiais konkrečios problemos sprendimo būdais, kuriuos vadinusprendimus.

Išspręsti problemą aritmetinis metodas - reiškia rasti atsakymą į uždavinio reikalavimą, atliekant aritmetines operacijas su skaičiais. Daugeliu atvejų tą pačią problemą galima išspręsti naudojant skirtingus aritmetinius metodus. Problema laikoma įvairiai išspręsta, jei jos sprendimai skiriasi duomenų ir ieškomų ryšiais, kurie sudaro sprendimų pagrindą, arba šių ryšių seka.

Tradicinėje rusų mokykloje mokant matematiką žodiniai uždaviniai visada užėmė ypatingą vietą. Viena vertus, žodinių problemų vartojimo mokymosi procese praktika visose civilizuotose šalyse kilusi iš Senovės Babilono molinių lentelių ir kitų senovinių rašytinių šaltinių, tai yra, jos šaknys yra susijusios. Kita vertus, Rusijai būdingas atidus mokytojų dėmesys tekstinėms užduotims yra beveik išimtinai rusiškas reiškinys.

Viena iš didelio dėmesio problemoms priežasčių yra ta, kad istoriškai ilgą laiką mokant vaikus aritmetikos buvo siekiama įvaldyti tam tikrus skaičiavimo įgūdžius, susijusius su praktiniais skaičiavimais. Tuo pačiu metu pagrindinė aritmetikos eilutė - skaičių eilutė - dar nebuvo sukurta, o skaičiavimai buvo mokomi per uždavinius.

Antroji priežastis padidėjęs dėmesysŽodinių uždavinių naudojimas Rusijoje yra tas, kad Rusijoje jie ne tik perėmė ir išplėtojo senovinį matematinių žinių perdavimo metodą ir samprotavimo metodus naudojant tekstinius uždavinius, bet ir išmoko uždavinių pagalba formuoti svarbius bendruosius ugdymo įgūdžius, susijusius teksto analizė ir problemos bei klausimo sąlygų nustatymas, sprendimo plano sudarymas, klausimo kėlimas ir sąlygų, iš kurių galima gauti atsakymą patikrinus gautą rezultatą, paieška.

Iki 50-ųjų vidurioXXV. žodiniai uždaviniai buvo gerai susisteminti,išplėtota problemų tipologija, įskaitant dalių uždavinius, dviejų skaičių radimą pagal jų sumą ir skirtumą, jų santykį ir sumą (skirtumą), trupmenas, procentus, bendrą darbą, sprendinius ir lydinius, tiesioginius ir atvirkštinius proporcingumas ir kt.

Iki to laiko jų panaudojimo ugdymo procese metodika buvo gerai išvystyta, tačiau šeštojo dešimtmečio pabaigoje vykdant matematikos ugdymo reformą požiūris į juos pasikeitė. Apžvelgdami aritmetikos vaidmenį ir vietą mokyklinių dalykų sistemoje, bandydami padidinti matematikos mokslinį pateikimą per anksčiau įvedant lygtis ir funkcijas, matematikai ir matematikos metodininkai manė, kad per daug laiko skiriama mokant aritmetikos metodus sprendžiant uždavinius.

Tačiau būtent tekstiniai uždaviniai ir aritmetiniai jų sprendimo metodai paruošia vaiką algebros įsisavinimui. Ir kai taip atsitiks, algebra išmokys išspręsti kai kurias (bet ne visas!) užduotis, kurios yra paprastesnės nei aritmetika. Kiti aritmetiniai sprendimo būdai liks aktyviajame studento bagaže. Pavyzdžiui, jei mokinys buvo išmokytas padalyti skaičių tam tikru santykiu, tai net vidurinėje mokykloje jis nedalins skaičiaus 15 santykiu 2:3 naudodamas lygtį, jis atliks aritmetines operacijas:

1) ,

2) ,

3) 15 – 6 = 9.

Noriu pažymėti, kad esu atstovas būtent tos moksleivių kartos, kuri buvo minėtos reformos dalyviai. 1968 metais lankiau mokyklą, mano pirmos klasės vadovėlis vadinosi Aritmetika. Pasirodo, juo pasinaudojome paskutiniai. Antroje klasėje mane nustebino ir neįprasta, kad mano pirmokų draugų tema, taigi ir vadovėlis, vadinosi „matematika“. Trečioje klasėje jau mokėmės „matematikos“. Vidurinėje mokykloje ir atitinkamai vidurinėje mokykloje pagrindinis žodinių uždavinių sprendimo būdas buvo algebrinis. Aštuntojo dešimtmečio pabaigos reformos įtaką jaučiu iki šių dienų, nes... dalyvaujantiems tėveliams ugdymo procesas vaikai dėl to, kad susiformavo tam tikrą stereotipą, susidarė nuomonę, kad problemas reikia spręsti lygčių pagalba. Mamos ir tėčiai, nežinodami kitų technikų, namuose atkakliai stengiasi paaiškinti savaip, o tai ne visada išeina į naudą, o kartais net apsunkina mokytojo darbą.

Jokiu būdu neturėtume sumenkinti algebrinio uždavinių sprendimo metodo, kuris yra universalus ir kartais vienintelis sprendžiant sudėtingesnes problemas. Be to, gana dažnai būtent lygtis duoda užuominą, kaip rasti veiksmų sprendimą. Tačiau praktika parodė, kad ankstyvas šio perspektyvaus, tolesnio panaudojimo mokyme požiūriu, problemų sprendimo metodo panaudojimas be pakankamo pasiruošimo yra neveiksmingas.

5-6 klasėse reikia maksimaliai atkreipti dėmesį į aritmetinį tekstinių uždavinių sprendimo būdą ir neskubėti pereiti prie uždavinių sprendimo naudojant lygtį. Kai mokinys išmoksta algebrinį metodą, beveik neįmanoma jį grąžinti prie „sprendimo veiksmais“. Sudarius lygtį, svarbiausia ją teisingai išspręsti ir išvengti skaičiavimo klaidos. Ir visai nereikia galvoti, kokios aritmetinės operacijos atliekamos sprendimo metu, koks kiekvieno veiksmo rezultatas. O jei žingsnis po žingsnio vykdysime lygties sprendimą, pamatysime tuos pačius veiksmus kaip ir aritmetiniame metode.

Labai dažnai galima pastebėti, kad vaikas nėra pasirengęs išspręsti uždavinio algebriškai, kai įvedamas abstraktus kintamasis ir atsiranda frazė „tegul x...“. Iš kur atsirado šis „X“ ir kokius žodžius reikia rašyti šalia jo, mokiniui šiame etape neaišku. O taip nutinka todėl, kad tokio amžiaus vaikai išsiugdė vaizdinį-vaizdinį mąstymą. O lygtis yra abstraktus modelis. O penktos ir ankstyvos šeštos klasės vaikai neturi priemonių lygtims spręsti. Istoriškai žmonės pradėjo naudoti lygtis, apibendrindami problemų sprendimus, kuriuose jie turėjo operuoti su tokiomis sąvokomis kaip „dalis“, „krūva“ ir kt. Vaikas turi eiti tuo pačiu keliu!

Sėkmingam darbui svarbu, kad mokytojas giliai suprastų tekstinę problemą, jos struktūrą, mokėtų tokias problemas įvairiai spręsti.

Prieš daugelį metų į mano rankas patekau seniai išleistą vadovą, skirtą 5-8 klasių mokytojams. moderni mokykla– 5-9 kl.) „Maskvos matematikos olimpiadų rinkinys (su sprendimais)“ 1967 m., autorė Galina Ivanovna Zubelevičius. Didžioji dauguma užduočių joje išspręsta aritmetiškai, kas mane labai sudomino. Vėliau mano dėmesį patraukė du A.V. vadovėliai „Aritmetika, 6“ ir „Aritmetika, 6“. Ševkinas, ir to paties autoriaus vadovas mokytojams „Mokymas spręsti tekstinius uždavinius 5-6 klasėse“. Šie šaltiniai man tapo darbo šia tema pradžia. Pasiūlytos idėjos atrodė labai svarbios ir atitiko mano supratimą apie išdėstytą temą, būtent:

1) atsisakymas naudoti lygtis ankstyvame mokymosi etape ir grįžimas prie daugiau platus pritaikymas aritmetiniai uždavinių sprendimo metodai;

2) platesnis „istorinių“ problemų ir senovinių jų sprendimo būdų panaudojimas;

3) atsisakymas chaotiškai siūlyti studentams problemas įvairiomis temomis ir svarstyti problemų grandinę nuo paprasčiausių, visiems prieinamų iki sudėtingų ir labai sudėtingų.

Žodinių uždavinių tipai pagal sprendimo būdus.

Žodinius uždavinius galima suskirstyti į aritmetinius ir algebrinius. Šis padalijimas atsiranda dėl to, kad pasirinktas labiau būdingas (racionalus) konkrečiai problemai sprendimo būdas.

Aritmetiniai uždaviniai turi milžiniškas galimybes mokyti moksleivius mąstyti savarankiškai, analizuojant neakivaizdžias gyvenimo situacijas. Aritmetika yra trumpiausias kelias į gamtos supratimą, nes joje nagrinėjami paprasčiausi, pagrindiniai eksperimentiniai faktai (pavyzdžiui, atpasakojimas

akmenys „eilėmis“ ir „stulpeliais“ visada veda į vieną

rezultatas):

5+5+5 = 3+3+3+3+3.

Pažvelkime į kai kurias užduočių rūšis.

„Už tą pačią sumą pirktos dviejų rūšių prekės, pirmos rūšies perpus pigiau nei antrosios. Jie buvo sumaišyti ir pusė mišinio parduodama aukščiausios rūšies kaina, likusi dalis – žemiausios rūšies kaina. Kiek procentų pelno ar nuostolių buvo gauta pardavus?

Iš esmės tai yra tipiška problema, kurią galima išspręsti įvedus savavališkus matavimo vienetus. Tačiau net ir esant tokiai sąlygai, čia aiškiai išreikštas sprendimui būtinų nežinomų dydžių veikimas.algebrinė charakteris. Be to, dažnai kyla problemų, kuriose, priešingai, aritmetinis sprendimas yra daug paprastesnis nei algebrinis. Tai gali priklausyti nuo dviejų priežasčių. Kai kuriais atvejais perėjimas nuo žinomo prie nežinomo yra toks paprastas, kad lygčių sudarymas (perėjimas nuo nežinomo prie žinomo) sukeltų nereikalingų nepatogumų, sulėtintų sprendimo procesą. Pavyzdžiui, ši užduotis:

„Vieną dieną Velnias pasiūlė užsidirbti pinigų Loaferiui. „Kai tik pervažiuosi šį tiltą, – pasakė jis, – pinigai padvigubės. Gali kirsti kiek nori, bet po kiekvieno perėjimo duok man už tai 24 kapeikas. Tinginys sutiko ir... po trečio perėjimo liko be pinigų. Kiek pinigų jis turėjo iš pradžių?

Antroji – klasikinė problema, įdomi dėl paradoksalios sąlygos formulavimo. Jame, kaip ir ankstesnėje užduotyje, „sintetinio“ sprendimo etapai skleidžiasi priešinga aprašytų įvykių eigai.

„Kiaušinių pardavėja pirmajam pirkėjui pardavė pusę viso savo krepšelyje esančių kiaušinių ir dar pusę kiaušinių; antroji pirkėja gavo pusę likusios dalies ir dar pusę kiaušinio, trečia pirkėja gavo pusę likusios dalies ir dar pusę kiaušinio, po to jai nebeliko nieko. Kiek kiaušinių krepšelyje buvo pradžioje?

Kitais atvejais lygties sudarymas reikalauja tokio samprotavimo, kurio pakanka tikslui pasiekti. Tai aritmetiniai uždaviniai visa to žodžio prasme: jų algebrinis sprendimas yra ne lengvesnis, o sunkesnis ir dažniausiai apima papildomų nežinomųjų įvedimą, kuriuos vėliau tenka pašalinti ir pan.

Taigi, jei, pavyzdžiui, problema„Tanya pasakė: turiu 3 broliais daugiau nei seserų. Kiek daugiau brolių nei seserų Tanjos šeimoje? brolių skaičių pažymėkite x, seserų skaičių y, tada lygtis bus x − (y − 1) = 3, bet jei jau atspėjome, kad reikia parašyti y−1 (sesuo pati neskaičiavo ), tada jau aišku, kad yra ne 3, o tik 2 broliais daugiau nei seserų.

Pateiksime dar kelis pavyzdžius.

„Irklavau prieš srovę ir, pravažiavęs po tiltu, pamečiau kepurę. Po 10 minučių tai pastebėjau ir su ta pačia jėga besisukdamas bei irkluodamas pasivijau kepurę 1 km žemiau tilto. Koks upės greitis?

Sprendimas: 1 (60:(10+10))=3 (km/h)

„Kai atvykdavau į stotį, dažniausiai siųsdavo mašiną pasiimti. Atvykęs vieną dieną valanda anksčiau, nuėjau pėsčiomis ir, sutikęs manęs atsiųstą automobilį, su juo atvykau į vietą 10 minučių anksčiau nei įprastai. Kiek kartų greičiau automobilis važiuoja, nei aš einu?

Pažvelkime į šios problemos sprendimą žingsnis po žingsnio:

1) 10:2=5 (min) – laikas, per kurį automobilis laiku atvyko į stotį iš susitikimo vietos.

2) 60-5=55 (min) – laikas, per kurį pėsčiasis įveikė tą patį atstumą.

3) 55:5=11 (kartų) automobilis važiuoja greičiau.

„Kateriu nuplaukti tam tikrą atstumą pasroviui užtrunka tris kartus trumpiau nei prieš srovę. Kiek kartų valties greitis didesnis už srovės greitį?

Šioje užduotyje reikia atspėti, kaip pereiti nuo laiko iki atstumų.

Tai labai geri aritmetiniai uždaviniai: reikia aiškiai suprasti atitinkamą konkrečią situaciją, o ne veikti pagal įsimintus formalius šablonus.

Štai dar vienas aritmetinio uždavinio pavyzdys, kurio sprendimas nereikalauja jokių „veiksmų“:

« Kažkoks išdykėlis iš deguto buteliuko į medaus indelį įpylė tepalo musę. Jis gerai išmaišė, o tada tą patį šaukštą mišinio iš stiklainio supylė į butelį su derva. Tada jis tai padarė dar kartą. Ko gavai daugiau: medaus butelyje su derva ar deguto indelyje su medumi? »

Norint išspręsti problemą, pakanka užduoti sau klausimą: kur iš butelio dingo derva, kurią pakeitė medus?

Tai nėra algebra, panašių terminų neįvedimas ir ne „perkėlimas iš vienos dalies į kitą su priešingu ženklu“. Būtent tokia logika siejama su įsivaizduojamomis operacijomis, turinčiomis labai realią reikšmę tiriamų dydžių srityje, kurių kūrimas ir tobulinimas yra įtrauktas į tiesioginius aritmetikos uždavinius.

Skirtumas tarp aritmetinio ir algebrinio pobūdžio uždavinių yra kiek neryškus, nes priklauso nuo kiekybinių charakteristikų, kurių vertinimas gali skirtis, kaip ir neįmanoma nubrėžti ribos tarp „kelių grūdelių“ ir „grūdų krūvos“. “

Pažvelkime atidžiau į tekstinių uždavinių tipus ir jų sprendimo būdus. Panagrinėkime tas problemas, kurias daugelis žmonių linkę spręsti naudodami lygtis, tačiau tuo pat metu jie turi paprastus ir kartais labai gražius savo veiksmų sprendimus.

1. Problemų radimas pagal jų daugybinį santykį ir sumą arba skirtumą (į „dalis“).

Susipažinimas su tokiomis problemomis turėtų prasidėti nuo tų, kur kalbame apie dalis gryna forma. Sprendžiant juos, sukuriamas pagrindas dviejų skaičių pagal jų santykį ir sumą (skirtumą) radimo uždaviniams spręsti. Mokiniai turi išmokti priimti tinkamą kiekį kaip 1 dalį, nustatyti, kiek tokių dalių yra kitame kiekyje ir jų sumą (skirtumą).

a) Uogienei imkite 2 dalis braškių ir 3 dalis cukraus. Kiek cukraus reikia 3 kg braškių?

b) Nupirkome 2700 g džiovintų vaisių. Obuoliai sudaro 4 dalis, kriaušės – 3 dalis, slyvos – 2 dalis. Kiek gramų obuolių, kriaušių ir slyvų atskirai?

c) Mergina perskaitė 3 kartus mažiau puslapių nei buvo likusi. Kiek puslapių yra knygoje, jei ji perskaitė 42 puslapiais mažiau?

Patartina pradėti spręsti šią problemą nuo piešinio:

1) – 42 puslapiai.

2) – 1 dalis, arba kiek puslapių mergina perskaitė.

3) – knygoje.

Ateityje studentai galės spręsti sudėtingesnes problemas.

c) Problema S.A. Račinskis. Aš praleidau metus Maskvoje, kaime ir kelyje - ir, be to, Maskvoje 8 kartus daugiau laiko nei kelyje, o kaime - 8 kartus daugiau laiko nei Maskvoje. Kiek dienų praleidau kelyje, Maskvoje ir kaime?

d) Nuimdami derlių valstybiniame ūkyje, mokiniai surinko 2 kartus daugiau pomidorų nei agurkų, 3 kartus mažiau nei bulvių. Kiek daržovių mokiniai surinko individualiai, jei bulvių surinko 200 kg daugiau nei pomidorų?

e) Senelis sako anūkams: „Štai jums 130 riešutų. Padalinkite juos į 2 dalis, kad mažesnė dalis, padidinta 4 kartus, būtų lygi didesnei daliai, sumažintai 3 kartus.

f) Dviejų skaičių suma lygi 37,75. Jei pirmasis terminas padidinamas 5 kartus, o antrasis - 3 kartus, tada nauja suma bus lygi 154,25. Raskite šiuos skaičius.

Skaičių padalijimo problemos šiuo atžvilgiu yra tokio tipo.

2. Dviejų skaičių radimas pagal jų sumą ir skirtumą.

a) Dviejose pakuotėse yra 50 sąsiuvinių, o pirmoje pakuotėje yra dar 8 sąsiuviniai. Kiek sąsiuvinių yra kiekvienoje pakuotėje?

Tokio tipo problemas visada pradedu spręsti nuo piešinio. Tada siūlau suvienodinti reikšmes. Vaikinai siūlo du būdus: išimti iš pirmos pakuotės arba pridėti prie antrosios. Taip nustatomi du pagrindiniai būdai: per dvigubai mažesnį skaičių arba dvigubai didesnį skaičių.

Išsiaiškinus šiuos metodus, tikslinga parodyti „seną“ tokio tipo problemų sprendimo būdą. Po klausimo „Kaip suvienodinti sąsiuvinių rietuves nesikeičiant bendram sąsiuvinių skaičiui? Mokiniai atspėja, kaip tai padaryti, ir daro išvadą: norint rasti mažesnį skaičių, reikia iš pusės sumos atimti pusę skirtumo, o norint rasti didesnį skaičių, reikia pridėti pusę skirtumo prie pusės sumos. Stiprūs mokiniai gali pateisinti šį metodą, pakeisdami pažodines išraiškas:

Naudojant šis metodasŠią problemą galima išspręsti vienu žingsniu:

b) Dviejų skaičių aritmetinis vidurkis yra 3, o jų pusės skirtumas lygus 1. Kokio dydžio mažesnis skaičius?

– mažesnis skaičius.

Išlyginimo technika taip pat taikoma užduočiai:

c) 8 veršeliai ir 5 avys suvalgė 835 kg pašaro. Per tą laiką kiekvienam veršeliui buvo duota 28 kg daugiau pašaro nei avims. Kiek pašaro suėdė kiekvienas veršelis ir avis?

3. „Atspėjimo“ problemos.

Šio tipo užduotys siejamos su numatytais veiksmais su objektais ir kiekiais. Tradicinėje metodikoje šio tipo problemos turėjo ir kitus pavadinimus pagal žinomiausias problemas: „mėlynas ir raudonas audinys“, „ΙΙ rūšies mišinys“. Manau, kad žinomiausia tarp „atspėti“ problemų yra senovės kinų problema.

a) Fazanai ir triušiai sėdi narve. Yra žinoma, kad jie turi 35 galvas ir 94 kojas. Sužinokite fazanų skaičių ir triušių skaičių.

Įsivaizduokite, kad narve yra tik fazanai. Kiek jie turi kojų?

Kodėl mažiau kojų? (Ne visi yra fazanai; kai kurie yra triušiai). Kiek dar kojų?

Jei vieną fazaną pakeis triušis, kiek padidės kojų skaičius? (2)

Galite pasirinkti kitą metodą, įsivaizduodami, kad visi yra triušiai.

Dar vienas labai įdomus samprotavimas buvo pateiktas senųjų matematikos meistrų ir labai domina vaikus.

- Įsivaizduokime, kad ant narvo, kuriame sėdi fazanai ir triušiai, dedame morką. Visi triušiai atsistos ant užpakalinių kojų, kad pasiektų morką. Kiek pėdų šiuo metu bus ant žemės?
2 · 35 = 70 (n.)
– Bet problemos teiginyje yra 94 kojos, kur likusios?

– Likusieji neskaičiuojami – tai priekinės triušių letenos.

- Kiek jų ten yra?
94–70 = 24 (n.)
- Kiek triušių?
24:2 = 12
O fazanai?
35 – 12 = 23

Įvaldę samprotavimo algoritmą, vaikai gali lengvai išspręsti šias problemas:

b) Sumaišėme 135 svarus dviejų rūšių arbatos, kurių bendra kaina 540 rublių. Kiek svarų abiejų klasių buvo paimta atskirai, jei pirmos klasės svaras kainavo 5 rublius, o antros – 3 rublius?

c) 94 rubliai. nusipirko 35 aršinus mėlynos ir raudonos spalvos audinio. Už mėlyno audinio aršiną mokėjo 2 rublius, o už raudono audinio aršiną – 4 rublius. Kiek aršinų abiejų audinių pirkote atskirai?

d) Šeimininkas nupirko 112 avinų, senų ir jaunų, ir sumokėjo 49 rublius. 20 altyn. Už seną aviną mokėjo 15 altynų ir 4 pusrublių, o už jauną aviną – 10 altynų. Kiek ir kokių avinų buvo nupirkta? Altynas - 3 kapeikos, poluška - ketvirtadalis kapeikos.

I. V. straipsnio problema man pasirodė įdomi. Arnoldas „Aritmetinių uždavinių atrankos ir sudėties principai“ (1946) apie automobilius:

d)„Važiuodamas pro stotį pastebėjau stotyje stovintį prekinį traukinį su 31 vagonu ir išgirdau pokalbį tarp tepalo ir movos. Pirmasis sakė: „Iš viso reikėjo patikrinti 105 ašis“. Antrasis pastebėjo, kad traukinyje yra daug keturių ašių mašinų – tris kartus daugiau nei dviašių, likusieji triašiai. Kitame ruože norėjau, neturėdamas ką veikti, suskaičiuoti, kiek vagonų yra šiame traukinyje. Kaip tai padaryti?"

Aritmetinis sprendimas yra paprastesnis nei algebrinis ir reikalauja aiškaus supratimo, kad dviašiai ir keturiaašiai automobiliai priskiriami (kiekybine prasme) į tam tikras grupes (po 4 automobilius). Įsivaizduojamas visų automobilių „pakeitimas“ triašiais – įprasta ir studentams jau gerai žinoma technika.

Pagalbinis įrankis gali būtigrafinis linijinis užduoties sąlygų rodymas.

4. Judėjimo užduotys.

Šios užduotys tradiciškai yra sunkios. Studentai turėtų gerai suprasti tokias sąvokas kaip artėjimo greitis ir pašalinimo greitis. Kai mokiniai išmoks spręsti tokias problemas naudodami lygtį, jiems bus daug lengviau rasti atsakymą. Tačiau lengviau nereiškia sveikiau. Prieš daugelį metų vienas mano mokinys, gana stiprus matematikoje, per pamoką entuziastingai ieškojo aritmetinio būdo išspręsti problemą, o visa klasė jį sprendė pagal lygtį. Gerai prisimenu jo žodžius, man labai aiškius: „Manęs nedomina lygtys“.

Pateiksiu sąlygas ir kelių problemų sprendimus.

a) Sena problema. Iš Maskvos į Tverę vienu metu išvyko du traukiniai. Pirmasis pravažiavo 39 verstais valandą ir atvyko į Tverą dviem valandomis anksčiau nei antrasis, kuris praėjo 26 verstų valandą. Kiek mylių nuo Maskvos iki Tverės?

Sprendimas:

1) Tiek atsiliko antrasis traukinys.

2) – pašalinimo greitis.

3) Pirmasis traukinys buvo pakeliui.

4) atstumas nuo Maskvos iki Tverės.

b) Iš Maskvos ta pačia kryptimi vienu metu pakilo du lėktuvai: vienas 350 km/h, kitas 280 km/h greičiu. Po dviejų valandų pirmasis sumažino greitį iki 230 km/val. Kokiu atstumu nuo Maskvos antrasis lėktuvas pasivys pirmąjį?

Sprendimas:

1) pašalinimo greitis.

2) – taip atsiliko antrasis lėktuvas.

3) artėjimo greitis.

4) Tiek laiko prireiks, kol antrasis lėktuvas pasivys pirmąjį.

5) (km) – tokiu atstumu iki Maskvos antrasis lėktuvas pasivys pirmąjį.

c) Du automobiliai išvažiavo iš dviejų miestų, kurių atstumas yra 560 km, vienas kito link ir susitiko po 4 valandų. Jei pirmojo automobilio greitis sumažinamas 15%, o antrojo greitis padidinamas 20%, tada susitikimas taip pat įvyks po 4 valandų Raskite kiekvieno automobilio greitį.

Sprendimas:

Paimkime pirmojo automobilio greitį 100% arba 1.

1) artėjimo greitis.

2) – antrojo greitis lygus pirmojo greičiui.

3) lemia artėjimo greitį.

4) pirmojo automobilio greitis.

5) antrojo automobilio greitį.

d) Telegrafo stulpą traukinys pravažiuoja per ketvirtį minutės, o 0,7 km ilgio tiltą – per 50 sekundžių. Apskaičiuokite vidutinį traukinio greitį ir jo ilgį.

Sprendimas: Sprendžiant šią problemą, mokiniai turi suprasti, kad kirsti tiltą – tai eiti taku, lygiu tilto ilgiui ir traukinio ilgiui, o pro telegrafo stulpą – nueiti taku, lygaus tilto ilgiui. traukinys.

1) traukinys nuvažiuoja atstumą, lygų tilto ilgiui.

2) – traukinio greitis.

3) traukinio ilgis.

e) Garlaiviui reikia 40 minučių daugiau, kad galėtų keliauti tarp dviejų prieplaukų nei laivui. Valties greitis – 40 km/h, o garlaivio – 30 km/h. Raskite atstumą tarp prieplaukų.

Sprendimas: 40 min val

1) garlaivio atsilikimas.

2) – pašalinimo greitis

2) – pakeliui buvo valtis.

3) atstumas tarp prieplaukų.

Tai tik kelios judėjimo užduotys iš didžiulės įvairovės. Naudodamasis jų pavyzdžiu norėjau parodyti, kaip galima apsieiti be lygčių, kol mokiniai neišugdo gebėjimo jas išspręsti. Natūralu, kad tokios užduotys yra pajėgios stipriems mokiniams, tačiau tai puiki galimybė jų matematiniam tobulėjimui.

5. Problemos „baseinuose“.

Tai dar viena užduotis, kuri vaikams sukelia ir susidomėjimo, ir sunkumų. Taip pat galima vadinti užduotis bendram darbui, į kurią įeina ir kai kurios judėjimo užduotys.

Šio tipo pavadinimas kilęs iš gerai žinomos senovinės problemos:

A) Atėnų mieste buvo rezervuaras, į kurį buvo nutiesti 3 vamzdžiai. Vienu iš vamzdžių baseiną galima užpildyti per 1 valandą, kitu, plonesniu, per 2 valandas, o trečiu, dar plonesniu, per 3 valandas. Taigi, sužinokite, per kokią valandos dalį visi trys vamzdžiai kartu užpildys baseiną?

Sprendimas:

1) (v./h) – užpildymo greitis per ΙΙ vamzdžio vamzdį.

2) (v./h) – užpildymo greitis per ΙΙΙ vamzdį.

3) (v./h) – bendras greitis.

4) (h) – rezervuarą užpildys 3 vamzdžiai.

Galite pasiūlyti vaikams kitą įdomų sprendimą:

Per 6 valandas 6 rezervuarai užpildomi per Ι vamzdį, 3 rezervuarai per ΙΙ vamzdį ir 2 rezervuarai per ΙΙ vamzdį. Visi vamzdžiai atitinkamai užpildys 11 rezervuarų per 6 valandas, o vienam rezervuarui užpildyti prireiks h.

Ši problema turi panašų sprendimą:

b) Liūtas avis suvalgė per vieną valandą, o vilkas – per dvi valandas, o šuo – per tris valandas. Kad ir kaip greitai jie, visi trys – liūtas, vilkas ir šuo – suėdė tą avis, suskaičiuok. (XVII a. matematiniai rankraščiai).

c) Vienas vyras išgers kadą per 14 dienų, o su žmona išgers tą patį kadą per 10 dienų, ir yra žinoma, kiek dienų jo žmona išgers tą patį kadą. (iš Magnitskio „Aritmetikos“)

Sprendimas:

1) (h) – gerti per dieną kartu.

) (h) – vyras geria per dieną.

3) (h) – žmona geria per dieną.

4) (d.) – žmonai reikės išgerti puodą gėrimo.

d) Sena problema. Laukinė antis nuo pietų jūros iki Šiaurės jūra skrenda 7 dienas. Iš Šiaurės jūros į Pietų jūrą laukinė žąsis atskrenda per 9 dienas. Dabar laukinė antis ir laukinė žąsis išskrenda vienu metu. Po kiek dienų jie susitiks? (panašus sprendimas)

e) Du pėstieji vienu metu paliko taškus A ir B vienas kito link. Jie susitiko praėjus 40 minučių po išvykimo, o 32 minutes po susitikimo pirmasis atėjo pas B. Kiek valandų po išvykimo iš B atėjo antrasis į A? (h) – dirbs kartu.

7) – privalės iškrauti baržą.

6. Niutono problema.

Vaikus ypač domina žolę ėdančių karvių problema.Problema pirmą kartą buvo paskelbta Bendrojoje aritmetikojeI. Niutonas, bet nuo to laiko neprarado savo aktualumo ir yra vienasvienas iš gražių aritmetinių uždavinių, kuris, nors ir gali būti išspręstas sudarant lygtį, yra daug gražesnis – darant tai nuosekliai samprotaujant. Teko stebėti, kaip dėl to glumina gimnazistai, įvesdami kelis kintamuosius, o tuo pat metu penktokai nesunkiai suprato sprendimą, jei jiems buvo pateikta sprendimo idėja.

7) (p.) – bus suėsta per dieną, o tiek karvių.

Atsakymas: 20 karvių.

Šiame darbe pateikiami pavyzdžiai ir nagrinėjami tik keli iš daugybės tekstinių problemų.

Baigdamas norėčiau pastebėti, kad reikia sveikinti įvairius problemų sprendimo būdus. Būtentproblemų sprendimas Skirtingi keliai– itin jaudinantis užsiėmimas įvairių studentų amžiaus grupėse. Susidomėjimas, smalsumas, kūrybiškumas, noras pasiekti sėkmės – tai patrauklūs veiklos aspektai.Jei mokinys matematikos pamokose susidoroja su žodiniais uždaviniais, tai yra, gali atsekti ir paaiškinti savo sprendimo loginę grandinę, apibūdinti visus dydžius, tai jis taip pat gali sėkmingai spręsti fizikos ir chemijos uždavinius, gali palyginti ir analizuoti, transformuoti informaciją. visų akademinių dalykų mokykliniame kurse.

Literatūra.

1. Arnoldas I.V. Aritmetinių uždavinių atrankos ir rengimo principai // RSFSR Pedagogikos mokslų akademijos Izvestija. 1946. – Laida. 6 - 8-28 p.

2. Zubelevičius G.I. Maskvos matematikos olimpiados uždavinių rinkinys. – M.: Išsilavinimas, 1971 m.

3. Ševkinas A.V. Mokymas spręsti tekstinius uždavinius 5-6 klasėse. – M.: Gals plius, 1998 m.

4 . Ševkinas A.V. Kurso „Teksto uždaviniai mokykliniame matematikos kurse“ medžiaga: 1-4 paskaitos. – M.: Pedagoginis universitetas „Rugsėjo pirmoji“, 2006. 88 p.

Nuotolinis mokymas mokytojams pagal federalinį išsilavinimo standartą žemomis kainomis

Internetiniai seminarai, kvalifikacijos kėlimo kursai, profesinis perkvalifikavimas ir profesinis mokymas. Žemos kainos. Daugiau nei 7900 edukacines programas. Valstybinis diplomas už kursus, perkvalifikavimą ir profesinį mokymą. Sertifikatas už dalyvavimą internetiniuose seminaruose. Nemokami webinarai. Licencija.

Skyriai