Tiesiosios trapecijos integralo plotas. Kaip apskaičiuoti plokštumos figūros plotą naudojant dvigubą integralą? Tokiu atveju
Mes supratome, kaip rasti išlenktos trapecijos G plotą. Čia pateikiamos gautos formulės:
ištisinei ir neneigiamai funkcijai y=f(x) atkarpoje, 
ištisinei ir neteigiamai funkcijai y=f(x) atkarpoje.
Tačiau sprendžiant problemas, susijusias su srities paieška, dažnai tenka susidurti su sudėtingesnėmis figūromis.
Šiame straipsnyje kalbėsime apie figūrų, kurių ribos aiškiai nurodytos funkcijomis, ploto apskaičiavimą, ty kaip y=f(x) arba x=g(y), ir išsamiai išanalizuosime tipinio sprendimo būdą. pavyzdžių.
Puslapio naršymas.
Figūros, apribotos tiesėmis y=f(x) arba x=g(y), ploto apskaičiavimo formulė.
Teorema.
Tegul funkcijos ir yra apibrėžtos ir tęstinės intervale ir bet kuriai reikšmei x nuo . Tada G paveikslo plotas, apribotas linijomis x=a , x=b , ir apskaičiuojamas pagal formulę 
.
Panaši formulė galioja ir figūros plotui, kurį riboja linijos y=c, y=d ir: 
.
Įrodymas.
Parodykime formulės galiojimą trimis atvejais: 
Pirmuoju atveju, kai abi funkcijos yra neneigiamos, dėl ploto adityvumo savybės pradinės figūros G ir kreivinės trapecijos plotų suma yra lygi figūros plotui. Vadinasi, 
Štai kodėl, . Paskutinis perėjimas galimas dėl trečiosios apibrėžtojo integralo savybės.
Panašiai ir antruoju atveju lygybė yra teisinga. Čia yra grafinė iliustracija: 
Trečiuoju atveju, kai abi funkcijos yra neteigiamos, turime . Iliustruojame tai: 
Dabar galime pereiti prie bendro atvejo, kai funkcijos susikerta su Jaučio ašimi.
Pažymime susikirtimo taškus. Šie taškai padalija atkarpą į n dalis, kur . Figūrą G galima pavaizduoti figūrų sąjunga 
. Akivaizdu, kad jo intervale jis patenka į vieną iš trijų anksčiau nagrinėtų atvejų, todėl jų plotai randami kaip 
Vadinasi, 
Paskutinis perėjimas galioja dėl penktosios apibrėžtojo integralo savybės.
Grafinė bendrojo atvejo iliustracija.
Taigi formulė įrodyta.
Atėjo laikas pereiti prie pavyzdžių, kaip rasti figūrų plotą, kurį riboja linijos y=f(x) ir x=g(y), sprendimo.
Pavyzdžiai, kaip apskaičiuoti figūros plotą, apribotą tiesėmis y=f(x) arba x=g(y) .
Kiekvieną uždavinį pradėsime spręsti sukonstruodami figūrą plokštumoje. Tai leis mums įsivaizduoti sudėtingą figūrą kaip paprastesnių figūrų sąjungą. Jei kyla sunkumų dėl statybos, skaitykite straipsnius: ; Ir .
Pavyzdys.
Apskaičiuokite figūros, apribotos parabolės, plotą 
ir tiesių linijų, x=1, x=4.
Sprendimas.
Nubrėžkime šias linijas plokštumoje. 
Visur atkarpoje parabolės grafikas virš tiesios linijos. Todėl mes taikome anksčiau gautą ploto formulę ir apskaičiuojame apibrėžtąjį integralą naudodami Niutono-Leibnizo formulę: 
Šiek tiek apsunkinkime pavyzdį.
Pavyzdys.
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą.
Sprendimas.
Kuo tai skiriasi nuo ankstesnių pavyzdžių? Anksčiau visada turėjome dvi tieses lygiagrečias x ašiai, bet dabar turime tik vieną x=7. Iš karto kyla klausimas: kur gauti antrąją integracijos ribą? Pažvelkime į brėžinį. 
Paaiškėjo, kad apatinė integravimo riba, ieškant figūros ploto, yra tiesės y=x ir pusiau parabolės grafiko susikirtimo taško abscisė. Iš lygybės randame šią abscisę: 
Todėl susikirtimo taško abscisė yra x=2.
Pastaba.
Mūsų pavyzdyje ir brėžinyje aišku, kad linijos ir y=x susikerta taške (2;2), todėl ankstesni skaičiavimai atrodo nereikalingi. Tačiau kitais atvejais viskas gali būti ne taip akivaizdu. Todėl rekomenduojame visada analitiškai apskaičiuoti tiesių susikirtimo taškų abscises ir ordinates.
Akivaizdu, kad funkcijos y=x grafikas yra virš funkcijos grafiko intervale. Plotui apskaičiuoti taikome formulę: 
Dar labiau apsunkinkime užduotį.
Pavyzdys.
Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja funkcijų grafikai ir 
.
Sprendimas.
Sukurkime atvirkštinio proporcingumo ir parabolių grafiką .
Prieš taikydami formulę figūros plotui rasti, turime nuspręsti dėl integracijos ribų. Norėdami tai padaryti, rasime linijų susikirtimo taškų abscisę, sulygindami išraiškas ir .
Nulinėms x reikšmėms lygybė 
yra lygiavertis trečiojo laipsnio lygčiai 
su sveikaisiais koeficientais. Norėdami prisiminti jos sprendimo algoritmą, galite peržiūrėti skyrių.
Nesunku patikrinti, ar x=1 yra šios lygties šaknis: .
Dalijant išraišką 
dvinario x-1 atveju turime:
Taigi iš lygties randamos likusios šaknys 
:
Dabar iš piešinio tapo aišku, kad G skaičius yra virš mėlynos ir žemiau raudonos intervalo linijos 
. Taigi reikalingas plotas bus lygus 
Pažvelkime į kitą tipišką pavyzdį.
Pavyzdys.
Apskaičiuokite figūros, apribotos kreiviais, plotą 
ir abscisių ašį.
Sprendimas.
Padarykime piešinį.
Tai įprasta laipsnio funkcija, kurios eksponentas yra trečdalis, funkcijos grafikas 
galima gauti iš grafiko, pateikus jį simetriškai x ašies atžvilgiu ir pakeliant jį vienu aukštyn. 
Raskime visų tiesių susikirtimo taškus.
Abscisių ašyje yra lygtis y=0.
Funkcijų ir y=0 grafikai susikerta taške (0;0), nes x=0 yra vienintelė tikroji lygties šaknis.
Funkcijų grafikai ir y=0 susikerta taške (2;0), nes x=2 yra vienintelė lygties šaknis 
.
Funkcijų grafikai ir susikerta taške (1;1), nes x=1 yra vienintelė lygties šaknis 
. Šis teiginys nėra visiškai akivaizdus, tačiau funkcija griežtai didėja ir - griežtai mažėjanti, todėl lygtis turi daugiausia vieną šaknį.
Vienintelė pastaba: šiuo atveju, norėdami rasti sritį, turėsite naudoti formos formulę 
. Tai reiškia, kad ribojančios linijos turi būti pavaizduotos kaip argumento funkcijos y ir juoda linija. 
Nustatykime tiesių susikirtimo taškus.
Pradėkime nuo funkcijų grafikų ir: 
Raskime funkcijų grafikų susikirtimo tašką ir: 
Belieka rasti linijų susikirtimo tašką ir: 
Kaip matote, vertės yra tos pačios.
Apibendrinti.
Išanalizavome visus dažniausiai pasitaikančius atvejus, kai reikia rasti figūros plotą, apribotą aiškiai apibrėžtomis linijomis. Norėdami tai padaryti, turite mokėti statyti tieses plokštumoje, rasti linijų susikirtimo taškus ir taikyti formulę, kad surastumėte plotą, o tai reiškia galimybę apskaičiuoti tam tikrus integralus.
Figūros ploto apskaičiavimas– Tai bene viena sunkiausių sričių teorijos problemų. Mokyklos geometrijoje jie mokomi rasti pagrindinių geometrinių formų, tokių kaip, pavyzdžiui, trikampis, rombas, stačiakampis, trapecija, apskritimas ir kt., sritis. Tačiau dažnai tenka susidurti su sudėtingesnių figūrų plotų skaičiavimu. Būtent sprendžiant tokias problemas labai patogu naudoti integralinį skaičiavimą.
Apibrėžimas.
Kreivinė trapecija iškviečiame kokią nors figūrą G, apribotą tiesių y = f(x), y = 0, x = a ir x = b, o funkcija f(x) yra ištisinė atkarpoje [a; b] ir nekeičia jo ženklo (1 pav.). Išlenktos trapecijos plotas gali būti pažymėtas S(G).
Funkcijos f(x) apibrėžtasis integralas ʃ a b f(x)dx, kuris yra tolydis ir neneigiamas intervale [a; b] ir yra atitinkamos išlenktos trapecijos plotas.
Tai yra, norint rasti figūros G plotą, apribotą tiesių y = f(x), y = 0, x = a ir x = b, reikia apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą ʃ a b f(x) dx .
Taigi, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Jei funkcija y = f(x) nėra teigiama [a; b], tada išlenktos trapecijos plotą galima rasti naudojant formulę S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
1 pavyzdys.
Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja tiesės y = x 3; y = 1; x = 2.
Sprendimas.
Nurodytos linijos sudaro figūrą ABC, kuri rodoma perbrėžiant ryžių. 2.
Reikalingas plotas lygus kreivosios trapecijos DACE ir kvadrato DABE plotų skirtumui.
Naudojant formulę S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), randame integravimo ribas. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame dviejų lygčių sistemą:
(y = x 3,
(y = 1.
Taigi, turime x 1 = 1 – apatinę ribą ir x = 2 – viršutinę ribą.
Taigi, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (kv. vnt.).
Atsakymas: 11/4 kv. vienetų
2 pavyzdys.
Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja tiesės y = √x; y = 2; x = 9.
Sprendimas.
Duotos linijos sudaro ABC figūrą, kurią viršuje riboja funkcijos grafikas
y = √x, o žemiau pavaizduotas funkcijos y = 2 grafikas. Gauta figūra rodoma perbrėžiant ryžių. 3.
Reikalingas plotas yra S = ʃ a b (√x – 2). Raskime integravimo ribas: b = 9, norėdami rasti a, išsprendžiame dviejų lygčių sistemą:
(y = √x,
(y = 2.
Taigi, mes turime, kad x = 4 = a - tai yra apatinė riba.
Taigi, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (kv. vnt.).
Atsakymas: S = 2 2/3 kv. vienetų
3 pavyzdys.
Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja tiesės y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.
Sprendimas.
Nubraižykime funkciją y = x 3 – 4x, kai x ≥ 0. Norėdami tai padaryti, raskite išvestinę y':
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0, kai x = ±2/√3 ≈ 1,1 – kritiniai taškai.
Jei skaičių tiesėje nubraižysime kritinius taškus ir išdėstysime išvestinės ženklus, pamatysime, kad funkcija mažėja nuo nulio iki 2/√3 ir didėja nuo 2/√3 iki plius begalybės. Tada x = 2/√3 yra mažiausias taškas, funkcijos y minimali reikšmė min = -16/(3√3) ≈ -3.
Nustatykime grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis:
jei x = 0, tai y = 0, o tai reiškia, kad A(0; 0) yra susikirtimo taškas su Oy ašimi;
jei y = 0, tai x 3 – 4x = 0 arba x(x 2 – 4) = 0, arba x(x – 2) (x + 2) = 0, iš kur x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (netinka, nes x ≥ 0).
Taškai A(0; 0) ir B(2; 0) yra grafiko susikirtimo su Ox ašimi taškai.
Nurodytos linijos sudaro OAB figūrą, kuri rodoma perbrėžiant ryžių. 4.
Kadangi funkcija y = x 3 – 4x įgauna neigiamą reikšmę (0; 2), tada
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Turime: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, iš kur S = 4 kv. vienetų
Atsakymas: S = 4 kv. vienetų
4 pavyzdys.
Raskite figūros plotą, kurį riboja parabolė y = 2x 2 – 2x + 1, tiesės x = 0, y = 0 ir šios parabolės liestinė taške, kurio abscisė x 0 = 2.
Sprendimas.
Pirmiausia sukurkime parabolės liestinės y = 2x 2 – 2x + 1 lygtį taške, kurio abscisė x₀ = 2.
Kadangi išvestinė y’ = 4x – 2, tai esant x 0 = 2 gauname k = y’(2) = 6.
Raskime liestinės taško ordinates: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Todėl liestinės lygtis turi tokią formą: y – 5 = 6 (x – 2) arba y = 6x – 7.
Sukurkime figūrą, apribotą linijomis:
y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x - 7.
Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parabolė. Susikirtimo taškai su koordinačių ašimis: A(0; 1) – su Oy ašimi; su Jaučio ašimi – nėra susikirtimo taškų, nes lygtis 2x 2 – 2x + 1 = 0 neturi sprendinių (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, tai yra, parabolės taško B viršūnė turi koordinates B(1/2; 1/2).
Taigi, figūra, kurios plotą reikia nustatyti, rodoma perėjimo būdu ryžių. 5.
Turime: S O A B D = S OABC – S ADBC.
Raskime taško D koordinates iš sąlygos:
6x – 7 = 0, t.y. x = 7/6, o tai reiškia, kad DC = 2 – 7/6 = 5/6.
Trikampio DBC plotą randame pagal formulę S ADBC = 1/2 · DC · BC. Taigi,
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 kv. vienetų
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (kv. vnt.).
Galiausiai gauname: S O A B D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (kv. vnt.).
Atsakymas: S = 1 1/4 kv. vienetų
Mes peržiūrėjome pavyzdžius duotų linijų apribotų figūrų plotų radimas. Norint sėkmingai išspręsti tokias problemas, reikia mokėti plokštumoje konstruoti eiles ir funkcijų grafikus, rasti tiesių susikirtimo taškus, taikyti formulę plotui rasti, o tai reiškia galimybę apskaičiuoti tam tikrus integralus.
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.
Tegul funkcija yra neneigiama ir tęstinė intervale. Tada pagal geometrinę apibrėžtojo integralo reikšmę kreivinės trapecijos plotas, kurį viršuje riboja šios funkcijos grafikas, žemiau ašies, kairėje ir dešinėje tiesiomis linijomis ir (žr. 2 pav.) apskaičiuojamas pagal formulę
9 pavyzdys. Raskite figūros, apribotos linija, plotą 
ir ašis.
Sprendimas. Funkcijų grafikas 
yra parabolė, kurios šakos nukreiptos žemyn. Pastatykime jį (3 pav.). Integravimo riboms nustatyti randame tiesės (parabolės) susikirtimo su ašimi (tiesia linija) taškus. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygčių sistemą
Mes gauname: 
, kur , ; vadinasi, , .
Ryžiai. 3
Figūros plotą randame pagal (5) formulę:
Jei funkcija yra neteigiama ir tęstinė atkarpoje , tada kreivinės trapecijos plotas, apribotas žemiau šios funkcijos grafiko, viršuje - ašimi, kairėje ir dešinėje - tiesėmis ir , apskaičiuojamas pagal formulę
. (6)
Jei funkcija yra ištisinė atkarpoje ir keičia ženklą ties baigtiniu taškų skaičiumi, tai nuspalvintos figūros plotas (4 pav.) yra lygus atitinkamų apibrėžtųjų integralų algebrinei sumai:
Ryžiai. 4
10 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja ašis ir funkcijos grafikas ties .
Ryžiai. 5
Sprendimas. Padarykime piešinį (5 pav.). Reikalingas plotas yra plotų ir suma. Raskime kiekvieną iš šių sričių. Pirmiausia, išspręsdami sistemą, nustatome integracijos ribas 
Mes gauname , . Taigi:
;
.
Taigi, užtamsintos figūros plotas yra
(kv. vnt.).
Ryžiai. 6
Galiausiai, leiskite kreivinę trapeciją virš ir žemiau apriboti funkcijų grafikais, kurie tęsiasi segmente ir ,
o kairėje ir dešinėje – tiesios linijos ir (6 pav.). Tada jo plotas apskaičiuojamas pagal formulę
. (8)
11 pavyzdys. Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos ir.
Sprendimas.Šis paveikslas parodytas fig. 7. Apskaičiuokime jo plotą pagal (8) formulę. Išspręsdami lygčių sistemą randame, ; vadinasi, , . Segmente turime: . Tai reiškia, kad formulėje (8) imame kaip x, o kaip savybė – . Mes gauname:
(kv. vnt.).
Sudėtingesnės plotų skaičiavimo problemos išsprendžiamos padalijant figūrą į nesutampančius dalis ir apskaičiuojant visos figūros plotą kaip šių dalių plotų sumą.
Ryžiai. 7
12 pavyzdys. Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos , , .
Sprendimas. Padarykime piešinį (8 pav.). Ši figūra gali būti laikoma kreivine trapecija, kurią iš apačios riboja ašis, į kairę ir į dešinę - tiesiomis linijomis, o iš viršaus - su funkcijų grafikais ir. Kadangi figūrą iš viršaus riboja dviejų funkcijų grafikai, norėdami apskaičiuoti jos plotą, šią tiesės figūrą padalijame į dvi dalis (1 yra tiesių ir ) susikirtimo taško abscisė. Kiekvienos iš šių dalių plotas randamas pagal (4) formulę:
(kv. vnt.); 
(kv. vnt.). Taigi:
(kv. vnt.).
Ryžiai. 8
|
Ryžiai. 9
Apibendrinant pažymime, kad jei kreivinė trapecija yra apribota tiesiomis linijomis ir , ašimi ir ištisine kreive (9 pav.), tada jos plotas randamas pagal formulę
Revoliucijos kūno tūris
Tegul kreivinė trapecija, apribota atkarpoje ištisinės funkcijos grafiku, ašimi, tiesiomis linijomis ir , sukasi aplink ašį (10 pav.). Tada pagal formulę apskaičiuojamas gauto sukimosi kūno tūris
. (9)
13 pavyzdys. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink kreivinės trapecijos, ribojamos hiperbole, tiesėmis ir ašimi, ašį.
Sprendimas. Padarykime piešinį (11 pav.).
Iš problemos sąlygų matyti, kad . Iš (9) formulės gauname
.
Ryžiai. 10
Ryžiai. vienuolika
Kūno tūris, gautas sukantis aplink ašį OU kreivinė trapecija, apribota tiesiomis linijomis y = c Ir y = d, ašis OU ir atkarpoje ištisinės funkcijos grafikas (12 pav.), nustatoma pagal formulę
. (10)
|
Ryžiai. 12
14 pavyzdys. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink ašį OU kreivinė trapecija, apribota linijomis X 2 = 4adresu, y = 4, x = 0 (13 pav.).
Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygas randame integravimo ribas: , . Naudodami (10) formulę gauname:
Ryžiai. 13
Plokštumos kreivės lanko ilgis
Tegul kreivė, pateikta lygties , kur , yra plokštumoje (14 pav.).
Ryžiai. 14
Apibrėžimas. Lanko ilgis suprantamas kaip riba, iki kurios linksta į šį lanką įrašytos trūkinės linijos ilgis, kai trūkinės linijos grandžių skaičius linkęs į begalybę, o didžiausios grandies ilgis linkęs į nulį.
Jei funkcija ir jos išvestinė yra ištisinės atkarpoje, tai kreivės lanko ilgis apskaičiuojamas pagal formulę
. (11)
15 pavyzdys. Apskaičiuokite kreivės lanko ilgį tarp taškų, kuriems 
.
Sprendimas. Iš mūsų turimų probleminių sąlygų 
. Naudodami (11) formulę gauname:
.
4. Netinkami integralai
su begalinėmis integracijos ribomis
Įvedant apibrėžtojo integralo sąvoką, buvo daroma prielaida, kad tenkinamos šios dvi sąlygos:
a) integracijos ribos A ir yra baigtiniai;
b) integrandas apribotas intervalu.
Jei bent viena iš šių sąlygų netenkinama, iškviečiamas integralas ne savo.
Pirmiausia panagrinėkime netinkamus integralus su begalinėmis integravimo ribomis.
Apibrėžimas. Tegul funkcija yra apibrėžta ir tęstinė intervale o dešinėje neribota (15 pav.).
Jei netinkamasis integralas suartėja, tai ši sritis yra baigtinė; jei netinkamasis integralas išsiskiria, tai ši sritis yra begalinė.
Ryžiai. 15
Netinkamas integralas su begaline apatine integravimo riba apibrėžiamas panašiai:
. (13)
Šis integralas konverguoja, jei lygybės (13) dešiniosios pusės riba egzistuoja ir yra baigtinė; kitu atveju sakoma, kad integralas yra divergentinis.
Netinkamas integralas su dviem begalinėmis integravimo ribomis apibrėžiamas taip:
, (14)
kur с yra bet kuris intervalo taškas. Integralas konverguoja tik tada, jei abu integralai dešinėje lygybės (14) pusėje susilieja.
;G) 
= [vardiklyje pasirinkite visą kvadratą: ] = 
[pakeitimas:
] = 
Tai reiškia, kad netinkamas integralas suartėja ir jo reikšmė lygi .
Bet koks apibrėžtas integralas (egzistuojantis) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Klasėje sakiau, kad apibrėžtasis integralas yra skaičius. O dabar laikas pasakyti dar vieną naudingą faktą. Geometrijos požiūriu apibrėžtasis integralas yra PLOTAS.
Tai yra, apibrėžtasis integralas (jei jis yra) geometriškai atitinka tam tikros figūros plotą. Pavyzdžiui, apsvarstykite apibrėžtąjį integralą. Integralas apibrėžia tam tikrą kreivę plokštumoje (jei pageidaujama, ją visada galima nubrėžti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu būdu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.
1 pavyzdys
Tai yra tipiškas priskyrimo pareiškimas. Pirmas ir svarbiausias sprendimo momentas yra brėžinio konstravimas. Be to, brėžinys turi būti sukonstruotas TEISINGAI.
Kuriant brėžinį rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau statyti visas tieses (jei jos yra) ir tik Tada– parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Pelningiau kurti funkcijų grafikus taškas po taško, taško po taško konstravimo techniką galima rasti pamatinėje medžiagoje.
Ten taip pat galite rasti labai naudingos medžiagos mūsų pamokai – kaip greitai sukonstruoti parabolę.
Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Nubraižykime brėžinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis apibrėžia ašį):
Neužtemdysiu lenktos trapecijos, čia aišku, apie kokią sritį kalbame. Sprendimas tęsiasi taip:
Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, Štai kodėl:
Atsakymas:
Kas turi sunkumų apskaičiuojant apibrėžtąjį integralą ir taikant Niutono-Leibnizo formulę, žiūrėkite paskaitą Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai.
Atlikus užduotį visada naudinga pažvelgti į piešinį ir išsiaiškinti, ar atsakymas tikras. Šiuo atveju brėžinyje esančių langelių skaičių skaičiuojame „iš akies“ - gerai, jų bus apie 9, atrodo, kad tai tiesa. Visiškai aišku, kad jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai akivaizdu, kad kažkur buvo padaryta klaida – 20 langelių akivaizdžiai netelpa į nagrinėjamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas neigiamas, tada užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.
2 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, , ir ašimi, plotą
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimi?
3 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis ir koordinačių ašimis.
Sprendimas: Padarykime piešinį:
Jei lenkta trapecija visiškai išsidėstę po ašimi, tada jo plotą galima rasti naudojant formulę:
Tokiu atveju:
Dėmesio! Negalima painioti dviejų tipų užduočių:
1) Jei jūsų prašoma išspręsti tiesiog apibrėžtąjį integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.
2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik aptartoje formulėje atsiranda minusas.
Praktikoje dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusplokštumoje, todėl nuo paprasčiausių mokyklinių uždavinių pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.
4 pavyzdys
Raskite plokštumos figūros, apribotos linijomis , plotą.
Sprendimas: Pirmiausia turite padaryti piešinį. Paprastai tariant, brėžinį konstruojant plotų uždaviniuose mus labiausiai domina tiesių susikirtimo taškai. Raskime parabolės ir tiesės susikirtimo taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis metodas yra analitinis. Išsprendžiame lygtį:
Tai reiškia, kad apatinė integracijos riba yra , viršutinė integracijos riba yra .
Jei įmanoma, šio metodo geriau nenaudoti.
Kur kas pelningiau ir greičiau tiesti linijas taškas po taško, o integracijos ribos išryškėja „savaime“. Įvairių grafikų taškinio konstravimo technika išsamiai aptariama žinyne Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Nepaisant to, analitinį ribų radimo metodą vis tiek kartais tenka naudoti, jei, pavyzdžiui, grafikas pakankamai didelis arba detali konstrukcija neatskleidė integravimo ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Ir mes taip pat apsvarstysime tokį pavyzdį.
Grįžkime prie savo užduoties: racionaliau pirmiausia konstruoti tiesę, o tik tada parabolę. Padarykime piešinį:
Kartoju, kad konstruojant taškiškai integracijos ribos dažniausiai išsiaiškinamos „automatiškai“.
O dabar darbo formulė: Jei segmente yra tam tikra ištisinė funkcija didesnis arba lygus kai kuri ištisinė funkcija, tada atitinkamos figūros plotą galima rasti naudojant formulę:
Čia jums nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, ir, grubiai tariant, svarbu, kuris grafikas yra AUKŠČESNIS(kito grafiko atžvilgiu), ir kuris iš jų yra ŽEMIAUS.
Nagrinėjamame pavyzdyje akivaizdu, kad atkarpoje parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš
Užbaigtas sprendimas gali atrodyti taip:
Norimą figūrą riboja parabolė viršuje ir tiesi linija apačioje.
Atsakymas:
Tiesą sakant, mokyklos formulė kreivinės trapecijos plotui apatinėje pusiau plokštumoje (žr. paprastą pavyzdį Nr. 3) yra specialus formulės atvejis. Kadangi ašis nurodoma lygtimi, o funkcijos grafikas yra žemiau ašies, tada
O dabar pora pavyzdžių jūsų sprendimui
5 pavyzdys
6 pavyzdys
Raskite figūros plotą, kurį riboja linijos , .
Sprendžiant problemas, susijusias su ploto apskaičiavimu naudojant apibrėžtąjį integralą, kartais nutinka juokingas įvykis. Brėžinys atliktas teisingai, skaičiavimai buvo teisingi, bet dėl neatsargumo... rastas netinkamos figūros plotas, būtent taip jūsų nuolankus tarnas kelis kartus suklydo. Štai realus atvejis:
7 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos , , , .
Pirmiausia padarykime piešinį:
Figūra, kurios sritį turime rasti, yra nuspalvinta mėlynai(atidžiai pažiūrėkite į būklę – kaip figūra ribota!). Tačiau praktikoje dėl neatidumo dažnai iškyla taip, kad reikia rasti figūros plotą, nuspalvintą žaliai!
Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad apskaičiuoja figūros plotą naudojant du apibrėžtuosius integralus. Tikrai:
1) Atkarpoje virš ašies yra tiesės grafikas;
2) Atkarpoje virš ašies yra hiperbolės grafikas.
Visiškai akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:
Atsakymas:
8 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą,
Pateikime lygtis „mokykloje“ ir nubrėžkime tašką po taško:
Iš brėžinio aišku, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“: .
Bet kokia yra apatinė riba?! Aišku, kad tai nėra sveikasis skaičius, bet kas tai yra? Gal būt ? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali pasirodyti, kad... Arba šaknis. Ką daryti, jei grafiką sudarėme neteisingai?
Tokiais atvejais tenka skirti papildomo laiko ir analitiškai išsiaiškinti integracijos ribas.
Raskime tiesės ir parabolės susikirtimo taškus.
Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį:
Vadinasi,.
Tolesnis sprendimas yra trivialus, svarbiausia nesusipainioti su pakeitimais ir ženklais, čia skaičiavimai nėra patys paprasčiausi.
Segmente pagal atitinkamą formulę:
Na, o pamokos pabaigoje pažvelkime į dvi sudėtingesnes užduotis.
9 pavyzdys
Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos, ,
Sprendimas: pavaizduokime šią figūrą brėžinyje.
Norėdami sukurti taškinį brėžinį, turite žinoti sinusoidės išvaizdą (ir apskritai naudinga žinoti visų elementariųjų funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusines vertes, jas galima rasti trigonometrinė lentelė. Kai kuriais atvejais (kaip ir šiuo atveju) galima sukonstruoti scheminį brėžinį, kuriame turėtų būti iš esmės teisingai atvaizduoti integracijos grafikai ir ribos.
Čia nėra problemų dėl integravimo ribų, jos tiesiogiai išplaukia iš sąlygos: „x“ keičiasi iš nulio į „pi“. Priimkime kitą sprendimą:
Segmente funkcijos grafikas yra virš ašies, todėl:
(1) Pamokoje galite pamatyti, kaip sinusai ir kosinusai integruojami į nelygines galias Trigonometrinių funkcijų integralai. Tai tipinė technika, nuspaudžiame vieną sinusą.
(2) Formoje naudojame pagrindinę trigonometrinę tapatybę
(3) Pakeiskime kintamąjį , tada:
Naujos integracijos sritys:
Visi, kurie tikrai blogai elgiasi su pakaitalais, pasimokykite. Pakeitimo metodas neapibrėžtame integrelyje. Tiems, kurie ne visai supranta pakeitimo algoritmą tam tikru integralu, apsilankykite puslapyje Apibrėžtasis integralas. Sprendimų pavyzdžiai. 5 pavyzdys: Sprendimas: , todėl:
Atsakymas:
Pastaba: atkreipkite dėmesį, kaip imamas liestinės kubo integralas; čia naudojama pagrindinės trigonometrinės tapatybės pasekmė.
1 pavyzdys . Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 ir x = 2
Sukonstruokime figūrą (žr. pav.) Sukonstruosime tiesę x + 2y – 4 = 0 naudodami du taškus A(4;0) ir B(0;2). Išreikšdami y per x, gauname y = -0,5x + 2. Naudodami (1) formulę, kur f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, randame
S = = [-0,25 = 11,25 kv. vienetų
2 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja tiesės: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 ir y = 0.
Sprendimas. Sukonstruokime figūrą.
Sukonstruokime tiesę x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Sukonstruokime tiesę x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Išspręsdami lygčių sistemą, raskime tiesių susikirtimo tašką:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Norint apskaičiuoti reikiamą plotą, trikampį AMC padalijame į du trikampius AMN ir NMC, nes kai x keičiasi iš A į N, plotas ribojamas tiesia linija, o kai x keičiasi iš N į C - tiese.
Trikampiui AMN turime: ; y = 0,5x + 2, t.y. f(x) = 0,5x + 2, a = -4, b = 2.
Trikampiui NMC turime: y = - x + 5, ty f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Apskaičiavę kiekvieno trikampio plotą ir sudėję rezultatus, gauname:
kv. vienetų
kv. vienetų
9 + 4, 5 = 13,5 kv. vienetų Patikrinkite: = 0,5 AC = 0,5 kv. vienetų
3 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
Tokiu atveju reikia apskaičiuoti išlenktos trapecijos plotą, kurį riboja parabolė y = x 2 , tiesės x = 2 ir x = 3 ir Ox ašis (žr. pav.) Naudodami formulę (1) randame kreivinės trapecijos plotą
= = 6 kv. vienetų
4 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos: y = - x 2 + 4 ir y = 0
Sukonstruokime figūrą. Reikalingas plotas yra tarp parabolės y = - x 2 + 4 ir Jaučio ašis.
Raskime parabolės susikirtimo taškus su Jaučio ašimi. Darant prielaidą, kad y = 0, randame x = Kadangi šis skaičius yra simetriškas Oy ašiai, apskaičiuojame figūros, esančios dešinėje Oy ašies, plotą ir gautą rezultatą padvigubiname: = +4x] kv. vienetų 2 = 2 kv. vienetų
5 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Čia reikia apskaičiuoti kreivinės trapecijos plotą, kurį riboja viršutinė parabolės šaka 2 = x, Ox ašis ir tiesės x = 1 ir x = 4 (žr. pav.)
Pagal (1) formulę, kur f(x) = a = 1 ir b = 4, turime = (= kv. vnt.).
6 pavyzdys . Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos: y = sinx, y = 0, x = 0, x = .
Reikiamą plotą riboja sinusoidės pusbangis ir Ox ašis (žr. pav.).
Mes turime - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 kv. vienetų
7 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos: y = - 6x, y = 0 ir x = 4.
Paveikslas yra po Jaučio ašimi (žr. pav.).
Todėl jo plotą randame naudodami formulę (3)
= =
8 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja tiesės: y = ir x = 2. Iš taškų sukonstruokite y = kreivę (žr. pav.). Taigi figūros plotą randame naudodami formulę (4)
9 pavyzdys .
X 2 + y 2 = r 2 .
Čia reikia apskaičiuoti plotą, kurį sudaro apskritimas x 2 + y 2 = r 2 , ty apskritimo, kurio spindulys yra r, kurio centras yra ištakoje, plotas. Raskime ketvirtąją šios srities dalį imdami integracijos ribas iš 0
prieš; mes turime: 1 = = [
Vadinasi, 1 =
10 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros, apribotos tiesėmis, plotą: y= x 2 ir y = 2x
Šį skaičių riboja parabolė y = x 2 o tiesė y = 2x (žr. pav.) Norėdami nustatyti duotųjų tiesių susikirtimo taškus, sprendžiame lygčių sistemą: x 2 – 2x = 0 x = 0 ir x = 2
Naudodami (5) formulę, norėdami rasti plotą, gauname
= }