Позначення натуральних чисел (Розряди та класи у записі числа). Читання та запис великих натуральних чисел
Простий спосіб пояснити розряди та класи числа дитині. Зрозуміло навіть дошкільнику. Метод складання та віднімання багатозначних чисел дітьми без проблем і наочно. Навчання математики в ігровій формі. Проста та весела математика для дитини.
Як просто пояснити дитині розряди та класи числа.
Мій син вміє рахувати до 10 вже з 2,5 років, десятки і рахунок до 20 освоїв у 3, а сотні в 4. Нам у цьому дуже допомогли настільні, математичні та логічні ігри. Але, це лише усно. Візуально числа 43 та 34 він завжди плутав. Міг сказати що у нього "двісті сто іграшок" тобто назви класів то він знав, але сам склад числа довгий часйому був загадкою. Почала шукати як пояснити просто і зрозуміло,знайшла кілька методик, але нам найбільше сподобалася та підійшла ця.
На аркуші я розкреслила таку таблицю
Назви десятків і сотень по черзі дитина вже знала. Я просто нагадала що один нулик це десять, два нулики - це сто, три нулики це-тисяча, а якщо два нулики і ще три нулики то це відповідно - десять тисяч.
Видала дитині ґудзички і запропонувала розкласти їх по стовпчикам так, як їй хочеться.
Вийшло приблизно так.
Попросила порахувати ґудзички у стовпчику, а внизу покласти потрібну цифру. (Ми маємо набір дерев'яних цифр, але підійде і просто намальовані цифри на квадратиках картону).
А потім просто читаємо що вийшло ДВІ ТИСЯЧІ ( спочатку на 2, а потім на 1000, потім кажу що нуль це порожньо, а значить просто упускаємо, 13. Ось з 13 трохи повозилися, 23, 33, 59 було простіше зрозуміти. Разом озвучували що вийшло, потім трохи допомагала, а потім дитина і сама справлятися почав.Коли почав правильно читати число, я писала число на аркуші,а він його викладав стовпчиками з гудзиків, наступним етапом я просто називала число, повільно, роблячи паузи між розрядами, і з щоразу виходило все краще.
Просте складання та віднімання з переходом через розряд для дітей.
Погравши так пів року, ми перейшли до складання та віднімання за допомогою тієї ж таблички. Наприклад 2013+224=2234. Сині гудзики поклав потім фіолетові
З переходом через розряд проблем не було, ми на той час давно і успішно грали в "Суперфермер" від Granna. Просто пояснила що як ми міняли 6 зайців на овечку так само і міняємо 10 ґудзиків у стовпчику на один ґудзичок. Дитина зрозуміла. І ось у 5 років він успішно сам складає і віднімає скільки завгодно значні числа, а іноді навіть в умі. Як він мені пояснив, просто уявляє табличку перед очима. Сподіваюся наш досвід буде корисним.
Пробуйте та пишіть свої враження у відгуках.
Ціль:формування в учнів уміння читати та записувати багатозначні числа.
Завдання для вчителя:
- створити умови для формування у учнів практичних навичок визначення розрядів та класів багатозначних чисел;
- організувати навчальну діяльністьна уроці через співпрацю з учнями;
- продовжувати розвиток умінь логічно мислити та викладати свої думки, розвивати пізнавальний інтерес учнів шляхом створення на уроці емоційних ситуацій, ситуацій радості, цікавості;
- сприяти під час уроку вихованню таких людських якостейяк доброта, чуйність, бажання прийти на допомогу.
Тип уроку:урок "відкриття" нових знань.
Використовувані методи, технології навчання:технологія діяльнісного методу, ІКТ.
Використовувані форми організації пізнавальної діяльності учнів:фронтальна, групова, індивідуальна.
Обладнання та основні джерела інформації:ПК, проектор, презентація до уроку, роздатковий матеріал. Підручник: Г.В.Дорофєєв, Т.М. Міракова, Т.Б.Бука "Математика" 4 клас.
Прогнозовані результати:
Предметні:
- знають розряди та класи багатозначних чисел;
- вміють читати та писати багатозначні числа.
Метапредметні:
- вміють ставити навчальні завдання та формулювати висновки.
- вміють слухати співрозмовника, висловлювати свою думку.
Особистісні:
- вміють співпрацювати з учителем та однолітками
Хід уроку
I. Психологічний настрій на діяльність.
Заливистий шкільний дзвінок
Покликав знову на урок.
Будьте уважні, а ще старанні.
Діти сіли за парти. Подивіться один на одного, посміхніться та побажайте один одному доброї роботи.
Девіз нашого уроку: “ Не будь квапливим, а будь терплячим”.
Сьогодні на уроці ми вирушимо у дивовижний світ чисел. ( Слайд 1)
II.Актуалізація знань про розрядний склад тризначних чисел.
Ви вже багато знаєте про числа.
Які знаки використовують для запису чисел? (Цифри)
Які знаєте числа? (однозначні, двозначні, тризначні)
Чому вони мають такі назви? (Для їх запису використовуються 1, 2 або 3 цифри)
Що ви можете сказати про кількість 1000? (Воно чотиризначне, кругле)
Прочитайте числа та назвіть у них розрядні доданки: 345, 67, 129, 921, 840. (Слайд 2).
Розгляньте числа та назвіть зайве число: 145, 51, 512, 152, 521, 251, 5127. (Слайд 3).Доведіть.
Запишіть ці числа у порядку зростання: (Слайд 3)
На що звернули увагу, дивлячись на решту чисел? (Для їх написання використовували три цифри 1, 2, 5);
Що означає цифра 5 у кожному числі?;
Зроби висновок про значення цифр у записі числа, залежно від місця, яке воно займає.
ІІІ. Постановка проблеми. Постановка цілей та завдань уроку.
Скільки знаків використали для запису цього числа?
Що потрібно зробити, щоб число було зручно прочитати?
Як ви вважаєте, чому ми будемо вчитися? (Читати та записувати багатозначні числа).
Отже, тема нашого уроку “Розряди та класи чисел” (Слайд 5)
IV. Робота на тему уроку.
1. Розгляньте таблицю розрядів та класів. (Слайд 6)
2. Розглядати її слід справа наліво. Спочатку подивіться лише перший стовпець перший рядок.
Що ви помічаєте? (Тут відомі нам тризначні числа)
Назвіть розряди І класу:
1 розряд – одиниці,
2-й розряд - десятки,
3-й розряд – сотні.
3. Прочитайте, як назвали математики II клас? (Клас тисяч), а ІІІ клас?
(Клас мільйонів).
Зверніть увагу на назву цих класів? (Їхні назви такі самі, як у 1-му класі).
Так, але під час читання чисел необхідно називати назву класу.
Прочитайте цифри, записані в таблиці.
V. Первинне закріплення
1. Мультимедійний диск на тему уроку. (Прослухати)
3. Завдання для закріплення на мультимедійному диску.
4. Завдання № 6 підручника стор. 107 – коментування
5. Найбільше чотиризначне число? (9.999) А як записати?
6. Найменше п'ятизначне число? (10.000)
7. Найбільше п'ятизначне число? (99.999)
8. Найбільше шестизначне число? (1.000.000). А ви знаєте, чому ж мільйон - слово "велетень"? Тільки уявіть собі, що якщо кожен аркуш прочитувати за 6 хвилин і якщо щодня читати по 8 годин безперервно, крім неділі, то мільйон аркушів можна прочитати лише за 40 років! Ось що таке мільйон! Ось чому його називають велетнем!
9. Робота усна за слайдами презентації (Слайди 7-11).
10. Первинне закріплення вміння записувати числа із наступною перевіркою.
Запиши цифри: 6 тисяч, 140 тисяч, 5 мільйонів. (Перевірка по слайду 12)
Запиши цифрами: сто шістдесят дві тисячі дев'ятсот тридцять п'ять, один мільйон триста вісімдесят тисяч триста один. (Перевірка по слайду 13)
VI. Фізкультхвилинка. (Слайд 14)
VII. Закріплення.
Гра 1 "Жива нумерація"
Троє учнів виходять до дошки, кожен одержує набір цифр.
Перший показує кількість одиниць ІІІ класу,
другий – кількість одиниць ІІ класу десятків,
третій – кількість одиниць І класу.
Учні правильно називають багатозначне число.
Гра 2 "Прочитай число"
Зараз кожен загадає цифру (0-9) та з кожного ряду по 3 чол. Вийдуть і запишуть на дошці, і в нас вийде багатозначне число.
Читайте число.
Скільки одиниць кожного класу у тому числі?
Скільки одиниць кожного розряду у цьому числі?
Робота у групі
Перш ніж розпочати роботу в групі, розподіліть між собою ролі. Група працює під девізом: Ти відповідальний за те, що робить твоя група.
(Кожній групі видаються набори цифр, у тому числі складаються найбільше, найменше числа)
VIII. Повторення вивченого.
1. Завдання № 10 стор. 108.
Перевірка рішення:
1) 100 000: 50 = 2000 (мішків) - всього на 2-х машинах.
2) 2000: 2 = 1000 (мішків) - на кожній машині.
Якого класу числа використано у задачі?
2. Тест. (Слайд 15)
Обвести кружком номер правильної відповіді:
1. Тринадцять тисяч п'ятдесят шість – це
2. Число 32028 читається:
1) три тисячі двісті двадцять вісім;
2) триста двадцять тисяч двадцять вісім;
3) тридцять дві тисячі двадцять вісім.
3. Число 9860 складається з суми розрядних доданків
2) 9000 + 800 + 60
4. Число, що складається з 10 тисяч, 8 сотень та 3 одиниць записується:
5. Число, в якому 7 одиниць першого класу та 3 одиниці другого класу записується:
6. Число, до якого треба додати 1, щоб отримати 100 000:
Перевірка в парах, оцінювання робіт за критеріями та оцінювання себе.
IX. Рефлексія
Згадай, усе про що говорили на уроці і дай відповідь на запитання:
Якою була тема уроку?
Чому я мав навчитися на уроці? (мета)
Що вийшло?
Що не вийшло і чому?
X. Домашнє завдання(різнорівневе)
Домашнє завдання "5". (картки)
1. Запиши три різні шестизначні числа, використовуючи тільки цифри 5, 0,7. Підкресли найбільше серед записаних чисел. Запиши його у вигляді суми розрядних доданків.
2. Запиши тризначне число. Поміняй у ньому цифри одиниць та сотень. Запиши число, що вийшло.
Домашнє завдання "4". (картки)
1. Запиши число, в якому міститься:
а) 500 од. 3 класи, 50 од. 2 класи та 5 од. 1 класу;
б) 6 од. 2 класи та 172 од. 1 класу.
2. Продовжи ряд чисел. Допиши ще 5 чисел: 72100, 73200, 74300, ...
Цифри в записі багатозначних чисел розбивають праворуч наліво на групи по три цифри в кожній. Ці групи називають класами. У кожному класі цифри праворуч наліво позначають одиниці, десятки та сотні цього класу:
Перший клас праворуч називають класом одиниць, другий - тисяч, третій - мільйонів, четвертий - мільярдів, п'ятий - трильйонів, шостий - квадрільйонівсьомий - квінтільйонів, восьмий - секстильйонів.
Для зручності читання запису багатозначного числа між класами залишається невеликий пробіл. Наприклад, щоб прочитати число 148951784296, виділимо в ньому класи:
і прочитаємо число одиниць кожного класу зліва направо:
148 мільярдів 951 мільйон 784 тисячі 296.
Під час читання класу одиниць наприкінці зазвичай не додають слово одиниць.
Кожна цифра запису багатозначного числа займає певне місце - позицію. Місце (позицію) у записі числа, на якому стоїть цифра, називають розрядом.
Рахунок йде справа наліво. Тобто, перша цифра праворуч у записі числа називається цифрою першого розряду, друга цифра праворуч - цифрою другого розряду і т. д. Наприклад, у першому класі числа 148 951 784 296, цифра 6 є цифрою першого розряду, 9 - цифра другого розряду, 2 - цифра третього розряду:
Одиниці, десятки, сотні, тисячі тощо інакше ще називають розрядними одиницями:
одиниці називають одиницями 1-го розряду (або простими одиницями)
десятки називають одиницями 2-го розряду
сотні називають одиницями 3-го розряду тощо.
Усі одиниці, крім простих одиниць, називаються складовими одиницями. Так, десяток, сотня, тисяча тощо – складові одиниці. Кожні 10 одиниць будь-якого розряду становлять одну одиницю наступного (вищого) розряду. Наприклад, сотня містить 10 десятків, десяток – 10 простих одиниць.
Будь-яка складова одиниця в порівнянні з іншою одиницею, меншою її називається одиницею вищого розряду, а порівняно з одиницею, більшою за неї, називається одиницею нижчого розряду. Наприклад, сотня є одиницею вищого розряду щодо десятка та одиницею нижчого розряду щодо тисячі.
Щоб дізнатися, скільки серед усіх одиниць якого-небудь розряду, треба відкинути всі цифри, що означають одиниці нижчих розрядів і прочитати число, що виражається цифрами, що залишилися.
Наприклад, потрібно дізнатися, скільки всього сотень міститься в числі 6284, тобто скільки сотень полягає в тисячах і сотнях даного числа разом.
У числі 6284 третьому місці у класі одиниць стоїть цифра 2, отже серед є дві прості сотні. Наступна ліворуч цифра – 6, означає тисячі. Так як у кожній тисячі міститься 10 сотень, то в 6 тисячах їх полягає 60. Усього, таким чином, в даному числі міститься 62 сотні.
Цифра 0 у якомусь розряді означає відсутність одиниць у даному розряді. Наприклад, цифра 0 у розряді десятків означає відсутність десятків, у розряді сотень - відсутність сотень і т. д. У тому розряді, де стоїть 0, при читанні числа нічого не вимовляється:
172526 - сто сімдесят дві тисячі п'ятсот двадцять шість.
102 026 – сто дві тисячі двадцять шість.
Наш перший урок називався числа. Ми розглянули лише малу частину цієї теми. Насправді тема чисел досить велика. У ній багато тонкощів та нюансів, багато хитрощів та цікавих фішок.
Сьогодні ми продовжимо тему чисел, але знову ж таки не розглядатимемо її всю, щоб не ускладнювати навчання зайвою інформацією, яка спочатку не особливо те й потрібна. Ми поговоримо про розряди.
Зміст урокуЩо таке розряд?
Якщо казати простою мовою, то розряд це позиція цифри в числі місця, де розташовується цифра. Візьмемо для прикладу число 635. Це число складається із трьох цифр: 6, 3 та 5.
Позиція, де знаходиться цифра 5, називається розрядом одиниць
Позиція, де знаходиться цифра 3, називається розрядом десятків
Позиція, де знаходиться цифра 6, називається розрядом сотень
Кожен із нас чув зі школи такі речі, як «одиниці», «десятки», «сотні». Розряди, крім того, що відіграють роль позиції цифри в числі, повідомляють нам деяку інформацію про число. Зокрема розряди повідомляють нам вагу числа. Вони повідомляють скільки одиниць, скільки десятків і скільки сотень.
Повернемося до нашого числа 635. У розряді одиниць розміщується п'ятірка. Що це говорить? А каже це про те, що розряд одиниць містить п'ять одиниць. Виглядає це так:
У розряді десятків розташовується трійка. Це говорить про те, що розряд десятків містить три десятки. Виглядає це так:
У розряді сотень розташовується шістка. Це свідчить, що у розряді сотень розташовуються шість сотень. Виглядає це так:
Якщо скласти число одиниць, число десятків і число сотень, що виходять, то отримаємо наше початкове число 635
Існують і старші розряди такі як розряд тисяч, розряд десятків тисяч, розряд сотень тисяч, розряд мільйонів тощо. Такі великі числа ми розглядатимемо рідко, проте про них теж бажано знати.
Наприклад, в числі 1645832 розряд одиниць містить 2 одиниці, розряд десятків - 3 десятки, розряд сотень - 8 сотень, розряд тисяч - 5 тисяч, розряд десятків тисяч - 4 десятки тисяч, розряд сотень тисяч - 6 сотень тисяч, розряд мільйонів - 1 мільйон .
На перших етапах вивчення розрядів бажано розбиратися скільки одиниць, десятків, сотень містить те чи інше число. Наприклад, число 9 містить дев'ять одиниць. Число 12 містить дві одиниці та один десяток. Число 123 містить три одиниці, два десятки та одну сотню.
Угруповання предметів
Після підрахунку тих чи інших предметів, розряди можна використовуватиме групування цих предметів. Наприклад, якщо ми нарахували у дворі 35 цегли, можна використовувати розряди для угруповання цієї цегли. У разі угруповання предметів, розряди можна читати зліва направо. Так, цифра 3 у числі 35 говоритиме про те, що в числі 35 міститься три десятки. А це означає, що 35 цеглин можна згрупувати тричі по десять штук.
Отже, згрупуємо цеглу тричі по десять штук:
Вийшло тридцять цеглин. Але лишилося ще п'ять одиниць цегли. Їх ми назвемо як "п'ять одиниць"
Вийшло три десятки та п'ять одиниць цегли.
А якби ми не стали групувати цеглу на десятки та одиниці, то можна було б сказати, що число 35 містить 35 одиниць. Таке угруповання теж було б допустимим:
Аналогічно можна розмірковувати й інші числа. Наприклад, про число 123. Раніше ми сказали, що це число містить три одиниці, два десятки та одну сотню. Але ще можна сказати, що це число містить 123 одиниці. Більш того, можна згрупувати це число та іншим чином, сказавши, що воно містить 12 десятків і 3 одиниці.
Слова одиниці, десятки, сотні, Замінюють собою множинні 1, 10 і 100. Наприклад, у розряді одиниць числа 123 розташовується цифра 3. За допомогою множиного 1 можна записати, що ця одиниця міститься в розряді одиниць три рази:
100 × 1 = 100
Якщо скласти отримані результати 3, 20 та 100, то отримаємо число 123
3 + 20 + 100 = 123
Те саме буде відбуватися, якщо ми скажемо, що число 123 містить 12 десятків і 3 одиниці. Іншими словами, десятки будуть згруповані 12 разів:
10 × 12 = 120
А одиниці тричі:
1 × 3 = 3
Це можна зрозуміти на наступний приклад. Якщо є 123 яблука, то можна згрупувати перші 120 яблук 12 разів по 10 штук:
Вийшло сто двадцять яблук. Але залишилося ще три яблука. Їх ми назвемо як «три одиниці»
Якщо скласти отримані результати 120 та 3, знову отримаємо число 123
120 + 3 = 123
Ще можна згрупувати 123 яблука на одну сотню, два десятки та три одиниці.
Згрупуємо сотню:
Згрупуємо два десятки:
Згрупуємо три одиниці:
Якщо скласти отримані результати 100, 20 та 3, знову отримаємо число 123
100 + 20 + 3 = 123
Ну і нарешті розглянемо останнє можливе угруповання, де яблука не розподілятимуться на десятки та сотні, а будуть зібрані разом. У такому разі число 123 читатиметься як «сто двадцять три одиниці» . Таке угруповання теж буде допустимим:
1 × 123 = 123
Число 523 можна прочитати, як 3 одиниці, 2 десятки та 5 сотень:
1 × 3 = 3 (три одиниці)
10 × 2 = 20 (два десятки)
100 × 5 = 500 (п'ять сотень)
3 + 20 + 500 = 523
Ще число 523 можна прочитати, як 3 одиниці 52 десятки:
1 × 3 = 3 (три одиниці)
10 × 52 = 520 (п'ятдесят два десятки)
3 + 520 = 523
Ще можна прочитати, як 523 одиниці:
1 × 523 = 523 (п'ятсот двадцять три одиниці)
Де застосувати розряди?
Розряди значно полегшують деякі обчислення. Уявіть, що ви біля дошки та вирішуєте завдання. Ви майже закінчили завдання, залишилося лише обчислити останній вираз та отримати відповідь. Вираз, який треба обчислити, виглядає так:
Калькулятора під рукою немає, а хочеться швидко записати відповідь та здивувати всіх швидкістю своїх обчислень. Все просто, якщо окремо скласти одиниці, окремо десятки та сотні. Починати треба із розряду одиниць. В першу чергу після знака одно (=) необхідно поставити в думках три точки. Замість цих точок розташовуватиметься нове число (наша відповідь):
Тепер починаємо складати. У розряді одиниць числа 632 розташовується цифра 2, а в розряді одиниць числа 264 цифра 4. Це означає, що розряд одиниць числа 632 містить дві одиниці, а розряд одиниць числа 264 містить чотири одиниці. Складаємо 2 та 4 одиниці - отримуємо 6 одиниць. Записуємо цифру 6 у розряді одиниць нового числа (нашої відповіді):
Далі складаємо десятки. У розряді десятків числа 632 розташовується цифра 3, а розряді десятків числа 264 — цифра 6. Це означає, що розряд десятків числа 632 містить три десятки, а розряд десятків числа 264 містить шість десятків. Складаємо 3 та 6 десятків - отримуємо 9 десятків. Записуємо цифру 9 у розряді десятків нового числа (нашої відповіді):
Ну і на завершення складаємо окремо сотні. У розряді сотень числа 632 розташовується цифра 6, а розряді сотень числа 264 — цифра 2. Це означає, що розряд сотень числа 632 містить шість сотень, а розряд сотень числа 264 містить дві сотні. Складаємо 6 та 2 сотні, отримуємо 8 сотень. Записуємо цифру 8 у розряді сотень нового числа (нашої відповіді):
Таким чином, якщо до 632 додати 264, виходить 896. Звичайно ви обчислите подібний вираз швидше і оточуючі почнуть дивуватися вашим здібностям. Вони думатимуть, що ви швидко обчислюєте великі числа, а ви насправді обчислювали маленькі. Погодьтеся, що малі числа обчислювати легше, ніж більші.
Переповнення розряду
Розряд характеризується однією цифрою від 0 до 9. Але іноді при обчисленні числового виразу в середині рішення може статися переповнення розряду.
Наприклад, при додаванні чисел 32 і 14 переповнення не відбувається. Додавання одиниць цих чисел дасть 6 одиниць у новому числі. А додавання десятків цих чисел дасть 4 десятки у новому чисел. Вийде відповідь 46 або шість одиниць та чотири десятки.
А ось при додаванні чисел 29 і 13 відбудеться переповнення. Додавання одиниць цих чисел дає 12 одиниць, а додавання десятків 3 десятки. Якщо в новому числі в розряді одиниць записати отримані 12 одиниць, а в розряді десятків записати отримані 3 десятки, то вийде помилка:
Значення виразу 29+13 дорівнює 42, а чи не 312. Як слід поступати при переповненні? У нашому випадку переповнення відбулося у розряді одиниць нового числа. При складанні дев'яти та трьох одиниць у нас вийшло 12 одиниць. А в розряд одиниць можна записувати лише цифри в діапазоні від 0 до 9.
Справа в тому, що 12 одиниць це не просто «дванадцять одиниць» . Інакше це число можна прочитати як «дві одиниці та один десяток» . Розряд одиниць призначений лише одиниць. Десяткам там не місце. Тут і є наша помилка. Склавши 9 одиниць та 3 одиниці ми отримали 12 одиниць, які по-іншому можна назвати двома одиницями та одним десятком. Записавши дві одиниці і один десяток в одному розряді, ми припустилися помилки, яка в результаті призвела до неправильної відповіді.
Щоб виправити ситуацію, дві одиниці потрібно записати в розряді одиниць нового числа, а десяток, що залишився, перенести на наступний розряд десятків. Після складання двох десятків і одного десятка ми додамо до отриманого результату той десяток, який залишився при складанні одиниць.
Отже, із 12 одиниць дві одиниці запишемо в розряді одиниць нового числа, а один десяток перенесемо на наступний розряд
Як видно на малюнку, 12 одиниць ми представили як 1 десяток та 2 одиниці. Дві одиниці записали в розряді одиниць нового числа. А десяток перенесли до розрядів десятків. Цей десяток ми додамо до результату додавання десятків чисел 29 та 13. Щоб не забути про нього, ми написали його над десятками числа 29.
Отже, складаємо десятки. Два десятки плюс один десяток буде три десятки плюс один десяток, який залишився від попередньої додавання. У результаті в розряді десятків отримуємо чотири десятки:
Приклад 2. Скласти за розрядами числа 862 та 372.
Починаємо з розряду одиниць. У розряді одиниць числа 862 розташовується цифра 2, у розряді одиниць числа 372 - також цифра 2. Це означає, що розряд одиниць числа 862 містить дві одиниці і розряд одиниць числа 372 також містить дві одиниці. Складаємо 2 одиниці плюс 2 одиниці – отримуємо 4 одиниці. Записуємо цифру 4 у розряді одиниць нового числа:
Далі складаємо десятки. У розряді десятків числа 862 розташовується цифра 6, а розряді десятків числа 372 — число 7. Це означає, що розряд десятків числа 862 містить шість десятків, а розряд десятків числа 372 містить сім десятків. Складаємо 6 десятків та 7 десятків - отримуємо 13 десятків. Відбулося переповнення розряду. 13 десятків це десятка повторена 13 разів. А якщо повторити десятку 13 разів, то вийде число 130
10 × 13 = 130
Число 130 складається з трьох десятків та однієї сотні. Три десятки ми запишемо у розряді десятків нового числа, а одну сотню відправимо на наступний розряд:
Як видно на малюнку, 13 десятків (число 130) ми представили як 1 сотню та 3 десятки. Три десятки ми записали у розряді десятків нового числа. А одну сотню перенесли до сотень. Цю сотню ми додамо до результату додавання сотень чисел 862 і 372. Щоб не забути про неї, ми написали її над сотнями числа 862.
Отже, складаємо сотні. Вісім сотень плюс три сотні буде одинадцять сотень плюс одна сотня, яка залишилася від попередньої додавання. У результаті в розряді сотень отримуємо дванадцять сотень:
Тут також відбувається переповнення розряду сотень, але це не призводить до помилки, оскільки рішення завершено. За бажання з 12 сотнями можна провести ті ж дії, що ми провели із 13 десятками.
12 сотень це сотня, повторена 12 разів. А якщо повторити сотню 12 разів, то вийде 1200
100 × 12 = 1200
У числі 1200 дві сотні та одна тисяча. Дві сотні записуються до сотень нового числа, а одна тисяча перенеслася до розряду тисяч.
Тепер розглянемо приклади на віднімання. Для початку пригадаємо, що таке віднімання. Це операція, яка дозволяє від одного числа відняти інше. Віднімання складається з трьох параметрів: зменшення, віднімання і різниці. Віднімати теж потрібно за розрядами.
Приклад 3. Відняти від 65 число 12.
Починаємо з розряду одиниць. У розряді одиниць числа 65 міститься цифра 5, у розряді одиниць числа 12 — цифра 2. Це означає, що розряд одиниць числа 65 містить п'ять одиниць, а розряд одиниць числа 12 містить дві одиниці. Віднімемо з п'яти одиниць дві одиниці, отримаємо три одиниці. Записуємо цифру 3 у розряді одиниць нового числа:
Тепер віднімаємо десятки. У розряді десятків числа 65 міститься цифра 6, у розряді десятків числа 12 — цифра 1. Це означає, що розряд десятків числа 65 містить шість десятків, а розряд десятків числа 12 містить один десяток. Віднімемо з шести десятків один десяток, отримаємо п'ять десятків. Записуємо цифру 5 у розряді десятків нового числа:
Приклад 4. Відняти з числа 32 число 15
У розряді одиниць числа 32 міститься дві одиниці, а розряді одиниць числа 15 — п'ять одиниць. Від двох одиниць не відняти п'ять одиниць, оскільки дві одиниці менше, ніж п'ять одиниць.
Згрупуємо 32 яблука так, щоб у першій групі було три десятки яблук, а в другій — дві одиниці яблук, що залишилися:
Отже, нам треба з цих 32 яблук відняти 15 яблук, тобто відняти п'ять одиниць і один десяток яблук. Причому відняти за розрядами.
Від двох одиниць яблук не можна відняти п'ять одиниць яблук. Щоб виконати віднімання, дві одиниці повинні взяти кілька яблук у сусідньої групи (розряду десятків). Але не можна брати скільки заманеться, оскільки десятки строго впорядковані по десять штук. Розряд десятків може дати двом одиницям лише цілий десяток.
Отже, беремо один десяток із розряду десятків і віддаємо його двом одиницям:
До двох одиниць яблук тепер приєднався десяток яблук. Виходить 12 одиниць яблук. А від дванадцяти можна відняти п'ять, вийде сім. Записуємо цифру 7 у розряді одиниць нового числа:
Тепер віднімаємо десятки. Оскільки розряд десятків віддав одиницям один десяток, зараз він має не три, а два десятки. Тому віднімаємо з двох десятків один десяток. Залишиться один десяток. Записуємо цифру 1 у розряді десятків нового числа:
Щоб не забувати, що в якомусь розряді було взято один десяток (або сотня або тисяча), над цим розрядом прийнято ставити крапку.
Приклад 5. Відняти з числа 653 число 286
У розряді одиниць числа 653 міститься три одиниці, а розряді одиниць числа 286 — шість одиниць. Від трьох одиниць не відняти шість одиниць, тому беремо один десяток у розряду десятків. Ставимо крапку над розрядом десятків, щоб пам'ятати, що ми взяли звідти один десяток:
Взятий один десяток і три одиниці разом утворюють тринадцять одиниць. Від тринадцяти одиниць можна відняти шість одиниць, вийде сім одиниць. Записуємо цифру 7 у розряді одиниць нового числа:
Тепер віднімаємо десятки. Раніше розряд десятків числа 653 містив п'ять десятків, але ми взяли з нього один десяток, і тепер у розряді десятків є чотири десятки. З чотирьох десятків не відняти вісім десятків, тому беремо одну сотню у розряду сотень. Ставимо крапку над розрядом сотень, щоб пам'ятати, що ми взяли звідти одну сотню:
Взята одна сотня та чотири десятки разом утворюють чотирнадцять десятків. Від чотирнадцяти десятків можна відняти вісім десятків, вийде 6 десятків. Записуємо цифру 6 у розряді десятків нового числа:
Тепер віднімаємо сотні. Раніше розряд сотень числа 653 містив шість сотень, але ми взяли з нього одну сотню і тепер у розряді сотень містяться п'ять сотень. З п'яти сотень можна відняти дві сотні, виходить три сотні. Записуємо цифру 3 у розряді сотень нового числа:
Набагато складніше віднімати з чисел виду 100, 200, 300, 1000, 10000. Тобто числа у яких на кінці нулі. Щоб виконати віднімання, кожному розряду доводиться займати десятки/сотні/тисячі у наступного розряду. Погляньмо, як це відбувається.
Приклад 6
У розряді одиниць числа 200 міститься нуль одиниць, а розряді одиниць числа 84 — чотири одиниці. Від нуля не відняти чотири одиниці, тому беремо один десяток у розряду десятків. Ставимо крапку над розрядом десятків, щоб пам'ятати, що ми взяли звідти один десяток:
Але в розряді десятків немає десятків, які ми могли б взяти, бо там також нуль. Щоб розряд десятків зміг дати нам один десяток, ми маємо взяти йому одну сотню у розряду сотень. Ставимо крапку над розрядом сотень, щоб пам'ятати, що ми взяли звідти одну сотню для розряду десятків:
Взята одна сотня — це десять десятків. Від цих десяти десятків ми беремо один десяток і віддаємо його одиницям. Цей один десяток і колишні нуль одиниць разом утворюють десять одиниць. Від десяти одиниць можна відняти чотири одиниці, вийде шість одиниць. Записуємо цифру 6 у розряді одиниць нового числа:
Тепер віднімаємо десятки. Щоб відняти одиниці, ми звернулися до розряду десятків за одним десятком, але на той момент цей розряд був порожній. Щоб розряд десятків зміг дати один десяток, ми взяли одну сотню в розряду сотень. Цю одну сотню ми назвали «десять десятків» . Один десяток ми віддали одиницям. Значить зараз у розряді десятків містяться не десять, а дев'ять десятків. Від дев'яти десятків можна відняти вісім десятків, вийде один десяток. Записуємо цифру 1 у розряді десятків нового числа:
Тепер віднімаємо сотні. Для розряду десятків ми брали у розряду сотень одну сотню. Отже зараз у розряді сотень містяться не дві сотні, а одна. Оскільки в розрахованому розряд сотень немає, ми переносимо цю одну сотню в розряд сотень нового числа:
Природно, виконувати віднімання таким традиційним методом досить складно, особливо спочатку. Зрозумівши сам принцип віднімання, можна скористатися нестандартними способами.
Перший спосіб полягає в тому, щоб зменшити число, яке на кінці нулі на одну одиницю. Далі з отриманого результату відняти віднімається і до отриманої різниці додати одиницю, яку спочатку відняли від зменшуваного. Давайте вирішимо попередній приклад у такий спосіб:
Зменшується це число 200. Зменшимо це число на одиницю. Якщо від 200 відняти 1 вийде 199. Тепер у прикладі 200-84 замість числа 200 записуємо число 199 і вирішуємо приклад 199-84. А рішення цього прикладу не складає особливих труднощів. Одиниці віднімемо з одиниць, десятки з десятків, а сотню просто перенесемо до нового числа, оскільки в числі 84 немає сотень
Отримали відповідь 115. Тепер до цієї відповіді додаємо одиницю, яку ми спочатку відняли з числа 200
Отримали остаточну відповідь 116.
Приклад 7. Відняти з числа 100000 число 91899
Віднімемо з 100000 одиницю, отримаємо 99999
Тепер з 99999 віднімаємо 91899
До отриманого результату 8100 додамо одиницю, яку ми відняли з 100000
Отримали остаточну відповідь 8101.
Другий спосіб віднімання у тому, щоб розглядати цифру, що у розряді, як самостійне число. Вирішимо кілька прикладів у такий спосіб.
Приклад 8. Відняти з числа 75 число 36
Отже, у розряді одиниць числа 75 розташовується число 5, а розряді одиниць числа 36 розташовується число 6. З п'яти не відняти шести, тому беремо одну одиницю в наступного числа, що у розряді десятків.
У розряді десятків розташовується число 7. Беремо від цього числа одну одиницю і подумки дописуємо її ліворуч від числа 5
А оскільки від числа 7 взято одну одиницю, це число зменшиться на одну одиницю і звернеться до числа 6
Тепер у розряді одиниць числа 75 розташовується число 15, а в розряді одиниць числа 36 число 6. З 15 можна відняти 6, вийде 9. Записуємо число 9 у розряді одиниць нового числа:
Переходимо до наступного числа, що у розряді десятків. Раніше там розташовувалося число 7, але ми брали з цього числа одну одиницю, тому зараз там розташовується число 6. А в розряді десятків числа 36 розташовується число 3. З 6 можна відняти 3, вийде 3. Записуємо число 3 у розряді десятків нового числа:
Приклад 9. Відняти з числа 200 число 84
Отже, у розряді одиниць числа 200 розташовується нуль, а розряді одиниць числа 84 — розташовується чотири. Від нуля не відняти чотири, тому беремо одну одиницю у наступного числа, що знаходиться в розряді десятків. Але в розряді десятків також нуль. Нуль не зможе дати нам одиницю. У такому разі за наступне приймаємо число 20.
Беремо одну одиницю від числа 20 і подумки дописуємо її ліворуч від нуля, що має розряд одиниць. А оскільки від числа 20 взято одну одиницю, це число звернеться до числа 19
Тепер у розряді одиниць розташовується число 10. Десять мінус чотири дорівнює шість. Записуємо число 6 у розряді одиниць нового числа:
Переходимо до наступного числа, що у розряді десятків. Раніше там був нуль, але цей нуль разом з наступною цифрою 2 утворив число 20, від якого ми брали одну одиницю. В результаті число 20 звернулося до числа 19. Виходить, що тепер у розряді десятків числа 200 розташовується число 9, а в розряді десятків числа 84 розташовується число 8. Дев'ять мінус вісім одно одному. Записуємо число 1 у розряді десятків нашої відповіді:
Переходимо до наступного числа, що перебуває до розряду сотень. Раніше там було число 2, але це число разом цифрою 0 ми прийняли за число 20, від якого взяли одну одиницю. У результаті число 20 звернулося до числа 19. Виходить, що тепер у розряді сотень числа 200 розташовується число 1, а серед 84 розряд сотень порожній, тому ми переносимо цю одиницю до нового числа:
Цей метод спочатку здається складним і позбавленим будь-якого сенсу, але насправді він найлегший. В основному ми будемо ним користуватися при складанні та відніманні чисел у стовпчик.
Додавання в стовпчик
Додавання в стовпчик це шкільна операція, яку пам'ятають багато хто, але не заважає згадати її ще раз. Додавання в стовпчик відбувається за розрядами — одиниці складаються з одиницями, десятки з десятками, сотні з сотнями, тисячі з тисячами.
Розглянемо кілька прикладів.
Приклад 1. Скласти 61 та 23.
Спочатку записуємо перше число, а під ним друге число так, щоб одиниці та десятки другого числа опинилися під одиницями та десятками першого числа. Все це з'єднуємо знаком додавання (+) по вертикалі:
Тепер одиниці першого числа складаємо з одиницями другого числа, а десятки першого числа складаємо із десятками другого числа:
Отримали 61+23=84.
приклад 2.Скласти 108 та 60
Тепер складаємо одиниці першого числа з одиницями другого числа, десятки першого числа з десятками другого числа, сотні першого числа із сотнями другого числа. Але сотня є тільки у першого числа 108. У цьому випадку цифра 1 із розряду сотень додається до нового числа (нашої відповіді). Як казали у школі «зноситься»:
Видно, що ми знесли цифру 1 до нашої відповіді.
Коли йдеться про додавання, немає різниці в якому порядку записувати числа. Наш приклад цілком можна було записати і так:
Перший запис, де число 108 було нагорі, зручніше для обчислення. Людина має право вибирати будь-який запис, але обов'язково треба пам'ятати, що одиниці треба записувати строго під одиницями, десятки під десятками, сотні під сотнями. Іншими словами, такі записи будуть неправильними:
Якщо раптом при складанні відповідних розрядів вийде число, яке не поміщається в розряд нового числа, то необхідно записати одну цифру з молодшого розряду, а перенести, що залишилася, на наступний розряд.
Мова в даному випадкуйдеться про переповнення розряду, про який ми говорили раніше. Наприклад, при додаванні 26 і 98 виходить 124. Давайте подивимося, як це вийшло.
Записуємо числа до стовпчика. Одиниці під одиницями, десятки під десятками:
Складаємо одиниці першого числа із одиницями другого числа: 6+8=14. Отримали число 14, яке не поміститься до розряду одиниць нашої відповіді. У разі ми спочатку витягуємо з 14 цифру, що у розряді одиниць і записуємо їх у розряді одиниць нашої відповіді. У розряді одиниць числа 14 знаходиться цифра 4. Записуємо цю цифру в розряді одиниць нашої відповіді:
А куди подіти цифру 1 із числа 14? Тут починається найцікавіше. Цю одиницю переносимо на наступний розряд. Вона буде додана до розряду десятків нашої відповіді.
Складаємо десятки із десятками. 2 плюс 9 дорівнює 11 плюс додаємо одиницю, яка дісталася нам від числа 14. Додавши до 11 нашу одиницю, ми отримаємо число 12, яке і запишемо в розряді десятків нашої відповіді. Оскільки це кінець рішення, тут уже не стоїть питання про те, чи вміститься відповідь у розряд десятків. 12 ми записуємо повністю, утворюючи остаточну відповідь.
Отримали відповідь 124.
Говорячи традиційним способом додавання, при додаванні 6 і 8 одиниць вийшло 14 одиниць. 14 одиниць це 4 одиниці та 1 десяток. Чотири одиниці записали в розряді одиниць, а один десяток відправили на наступний розряд (до розрядів десятків). Потім склавши 2 десятки та 9 десятків, ми отримали 11 десятків, плюс додали 1 десяток, який залишився при складанні одиниць. В результаті отримали 12 десятків. Ці дванадцять десятків ми записали цілком, утворюючи остаточну відповідь124.
Цей простенький приклад демонструє шкільну ситуацію, де говорять «чотири пишемо, один в умі» . Якщо ви вирішуватимете приклади і у вас після складання розрядів залишиться цифра, яку треба пам'ятати, запишіть її над тим розрядом, куди вона буде потім додана. Це дозволить вам не забути про неї:
Приклад 2. Скласти числа 784 та 548
Записуємо числа до стовпчика. Одиниці під одиницями, десятки під десятками, сотні під сотнями:
Складаємо одиниці першого числа з одиницями другого числа: 4+8=12. Число 12 не вміщається в розряд одиниць нашої відповіді, тому ми з 12 виймаємо цифру 2 з розряду одиниць і записуємо в розряд одиниць нашої відповіді. А цифру 1 переносимо на наступний розряд:
Тепер складаємо десятки. Складаємо 8 та 4 плюс одиниця, яка залишилася від попередньої операції (одиниця залишилася від 12, на малюнку вона виділена синім кольором). Складаємо 8+4+1=13. Число 13 не вміститься у розряд десятків нашої відповіді, тому ми запишемо цифру 3 у розряді десятків, а одиницю перенесемо на наступний розряд:
Тепер складаємо сотні. Складаємо 7 та 5 плюс одиниця, яка залишилася від попередньої операції: 7+5+1=13. Записуємо число 13 до сотень:
Віднімання у стовпчик
Приклад 1. Віднімемо з числа 69 число 53.
Запишемо числа до стовпчика. Одиниці під одиницями, десятки під десятками. Потім віднімаємо за розрядами. З одиниць першого числа віднімаємо одиниці другого числа. З десятків першого числа віднімаємо десятки другого числа:
Отримали відповідь 16.
приклад 2.Знайти значення виразу 95 − 26
Розряд одиниць числа містить 95 5 одиниць, а розряд одиниць числа 26 містить 6 одиниць. Від п'яти одиниць не можна відняти шість одиниць, тому беремо десяток у розряду десятків. Цей десяток та наявні п'ять одиниць разом становлять 15 одиниць. З 15 одиниць можна відняти 6 одиниць, вийде 9 одиниць. Записуємо цифру 9 у розряді одиниць нашої відповіді:
Тепер віднімаємо десятки. Розряд десятків числа 95 раніше містив 9 десятків, але ми взяли з цього розряду один десяток і зараз він містить 8 десятків. А розряд десятків числа 26 містить 2 десятки. З восьми десятків можна відняти два десятки, вийде шість десятків. Записуємо цифру 6 у розряді десятків нашої відповіді:
Скористаємося у якому кожна цифра, яка входить у число, сприймається як окреме число. При відніманні великих чисел у стовпчик цей спосіб дуже зручний.
У розряді одиниць зменшуваного розташовується число 5. На розряді одиниць віднімається число 6. З п'ятірки не відняти шістку. Тому беремо одну одиницю у числа 9. Взята одиниця подумки дописується ліворуч від п'ятірки. Оскільки у числа 9 ми взяли одну одиницю, це число зменшиться на одну одиницю:
У результаті п'ятірка звертається до числа 15. Тепер можна з 15 відняти 6. Виходить 9. Записуємо число 9 у розряді одиниць нашої відповіді:
Переходимо до розряду десятків. Раніше там розташовувалося число 9, але оскільки ми взяли в нього одну одиницю, воно звернулося до числа 8. У розряді десятків другого числа розташовується число 2. Вісім мінус два буде шість. Записуємо число 6 у розряді десятків нашої відповіді:
приклад 3.Знайдемо значення виразу 2412 − 2317
Записуємо в стовпчик цей вираз:
У розряді одиниць числа 2412 розташовується число 2, а в розряді одиниць числа 2317 розташовується число 7. З двійки не відняти сімку, тому беремо одиницю у наступного числа 1. Взяту одиницю подумки дописуємо зліва від двійки:
В результаті двійка звертається до числа 12. Тепер можна з 12 відняти 7. Виходить 5. Записуємо цифру 5 у розряді одиниць нашої відповіді:
Переходимо до десятків. У розряді десятків числа 2412 раніше розташовувалося число 1, але оскільки ми взяли в нього одну одиницю, воно звернулося до 0. На розряді десятків числа 2317 розташовується число 1. З нуля не відняти одиницю. Тому беремо одну одиницю у наступного числа 4. Взяту одиницю подумки дописуємо зліва від нуля. Оскільки у числа 4 ми взяли одну одиницю, це число зменшиться на одну одиницю:
У результаті нуль звертається до числа 10. Тепер можна з 10 відняти 1. Виходить 9. Записуємо цифру 9 у розряді десятків нашої відповіді:
У розряді сотень числа 2412 раніше розташовувалося число 4, але зараз там розташовується число 3. У розряді сотень числа 2317 також розташовується число 3. Три мінус три дорівнює нулю. Теж саме і з розрядами тисяч в обох числах. Два мінус два дорівнює нулю. Якщо ж різниця старших розрядів дорівнює нулю, цей нуль не записують. Тому остаточною відповіддю буде 95.
Приклад 4. Знайти значення виразу 600 − 8
У розряді одиниць числа 600 розташовується нуль, а розряді одиниць числа 8 саме це число. З нуля не відняти вісімку, тому беремо одиницю у наступного числа. Але така кількість це теж нуль. Тоді за наступне число приймаємо число 60. Беремо одну одиницю цього числа і подумки дописуємо її ліворуч від нуля. Оскільки у числа 60 ми взяли одну одиницю, це число зменшиться на одну одиницю:
Тепер у розряді одиниць розташовується число 10. З 10 можна відняти 8, вийде 2. Записуємо число 2 у розряді одиниць нового числа:
Переходимо до наступного числа, що у розряді десятків. У розряді десятків раніше розташовувався нуль, але нині там розташовується число 9, тоді як у другому числі розряд десятків відсутня. Тому число 9 переноситься, як є до нового числа:
Переходимо до наступного числа, що у розряді сотень. У розряді сотень раніше розташовувалося число 6, але нині там розташовується число 5, тоді як у другому числі розряд сотень відсутня. Тому число 5 переноситься, як є до нового числа:
Приклад 5.Знайти значення виразу 10000 − 999
Запишемо в стовпчик цей вираз:
У розряді одиниць числа 10000 розташовується 0, а розряді одиниць числа 999 розташовується число 9. З нуля не відняти дев'ятку, тому беремо одну одиницю в наступного числа, що у розряді десятків. Але в наступному розряді також нуль. Тоді за наступне число приймаємо 1000 і беремо з цього числа одиницю:
Наступне число в даному випадку було 1000. Взявши в нього одиницю, ми звернули його до числа 999. А взяту одиницю дописали зліва від нуля.
Подальше обчислення не склало особливих труднощів. Десять мінус дев'ять одно одному. Віднімання чисел, що у розряді десятків обох чисел дало нуль. Віднімання чисел, що у розряді сотень обох чисел також дало нуль. А дев'ятку з розряду тисяч було перенесено до нового числа:
Приклад 6. Знайти значення виразу 12301 − 9046
Запишемо в стовпчик цей вираз:
У розряді одиниць числа 12301 розташовується число 1, а розряді одиниць числа 9046 розташовується число 6. З одиниці не відняти шість, тому беремо одну одиницю в наступного числа, що у розряді десятків. Але в наступному розряді розташовується нуль. Нуль нічого нам дати не зможе. Тоді за наступне число приймаємо 1230 та беремо від цього числа одиницю:
