Beispielsweise ist die Folge \(2\); \(5\); \(8\); \(elf\); \(14\)... ist eine arithmetische Folge, da sich jedes nachfolgende Element um drei vom vorherigen unterscheidet (kann aus dem vorherigen durch Addition von drei erhalten werden):

In dieser Progression ist die Differenz \(d\) positiv (gleich \(3\)), und daher ist jeder nächste Term größer als der vorherige. Solche Verläufe nennt man zunehmend.

Allerdings kann \(d\) auch eine negative Zahl sein. Zum Beispiel, in arithmetischer Folge \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... die Progressionsdifferenz \(d\) ist gleich minus sechs.

Und in diesem Fall ist jedes nächste Element kleiner als das vorherige. Diese Verläufe werden aufgerufen abnehmend.

Arithmetische Progressionsnotation

Der Fortschritt wird durch einen kleinen lateinischen Buchstaben angezeigt.

Zahlen, die eine Folge bilden, werden aufgerufen Mitglieder(oder Elemente).

Sie werden mit demselben Buchstaben wie eine arithmetische Folge bezeichnet, jedoch mit einem numerischen Index, der der Nummer des Elements in der Reihenfolge entspricht.

Beispielsweise besteht die arithmetische Folge \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aus den Elementen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) und so weiter.

Mit anderen Worten, für die Progression \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Arithmetische Folgeprobleme lösen

Im Prinzip reichen die oben dargestellten Informationen bereits aus, um nahezu jedes Rechenprogressionsproblem (auch das der OGE) zu lösen.

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge wird durch die Bedingungen \(b_1=7; d=4\) festgelegt. Finden Sie \(b_5\).
Lösung:

Antwort: \(b_5=23\)

Beispiel (OGE). Die ersten drei Terme einer arithmetischen Folge sind angegeben: \(62; 49; 36…\) Finden Sie den Wert des ersten negativen Termes dieser Folge.
Lösung:

Antwort: \(-3\)

Beispiel (OGE). Gegeben sind mehrere aufeinanderfolgende Elemente einer arithmetischen Folge: \(…5; x; 10; 12,5...\) Finden Sie den Wert des Elements, das durch den Buchstaben \(x\) bezeichnet wird.
Lösung:

Antwort: \(7,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge wird durch die folgenden Bedingungen definiert: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Finden Sie die Summe der ersten sechs Terme dieser Folge.
Lösung:

Antwort: \(S_6=9\).

Beispiel (OGE). In der arithmetischen Folge \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Finden Sie den Unterschied dieser Progression.
Lösung:

Antwort: \(d=7\).

Wichtige Formeln für den arithmetischen Fortschritt

Wie Sie sehen, können viele Probleme der arithmetischen Folge einfach dadurch gelöst werden, dass man die Hauptsache versteht – dass eine arithmetische Folge eine Kette von Zahlen ist und jedes nachfolgende Element in dieser Kette durch Addition derselben Zahl zur vorherigen (die Unterschied der Progression).

Manchmal gibt es jedoch Situationen, in denen eine Entscheidung „frontal“ sehr unbequem ist. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass wir im allerersten Beispiel nicht das fünfte Element \(b_5\), sondern das dreihundertsechsundachtzigste \(b_(386)\) finden müssen. Sollten wir das Vierfache von \(385\) addieren? Oder stellen Sie sich vor, dass Sie im vorletzten Beispiel die Summe der ersten dreiundsiebzig Elemente ermitteln müssen. Du wirst es leid sein zu zählen...

Daher lösen sie in solchen Fällen die Dinge nicht „frontal“, sondern verwenden spezielle Formeln, die für die arithmetische Folge abgeleitet sind. Und die wichtigsten sind die Formel für den n-ten Term der Progression und die Formel für die Summe der \(n\) ersten Terme.

Formel des \(n\)-ten Termes: \(a_n=a_1+(n-1)d\), wobei \(a_1\) der erste Term der Progression ist;
\(n\) – Nummer des erforderlichen Elements;
\(a_n\) – Term der Progression mit der Zahl \(n\).

Mit dieser Formel können wir schnell sogar das dreihundertste oder millionste Element finden, wobei wir nur das erste und den Unterschied in der Progression kennen.

Beispiel. Die arithmetische Folge wird durch die Bedingungen angegeben: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Finden Sie \(b_(246)\).
Lösung:

Antwort: \(b_(246)=1850\).

Formel für die Summe der ersten n Terme: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), wobei

\(a_n\) – der letzte summierte Term;

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge wird durch die Bedingungen \(a_n=3,4n-0,6\) festgelegt. Finden Sie die Summe der ersten \(25\) Terme dieser Folge.
Lösung:

Antwort: \(S_(25)=1090\).

Für die Summe \(n\) der ersten Terme können Sie eine andere Formel erhalten: Sie müssen nur \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) anstelle von \(a_n\) ersetzen Sie die Formel dafür durch \(a_n=a_1+(n-1)d\). Wir bekommen:

Formel für die Summe der ersten n Terme: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), wobei

\(S_n\) – die erforderliche Summe von \(n\) ersten Elementen;
\(a_1\) – der erste summierte Term;
\(d\) – Fortschrittsunterschied;
\(n\) – Anzahl der Elemente insgesamt.

Beispiel. Finden Sie die Summe der ersten \(33\)-ex-Terme der arithmetischen Folge: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Lösung:

Antwort: \(S_(33)=-231\).

Komplexere arithmetische Folgeprobleme

Jetzt verfügen Sie über alle Informationen, die Sie benötigen, um fast jedes arithmetische Folgeproblem zu lösen. Beenden wir das Thema mit der Betrachtung von Problemen, bei denen man nicht nur Formeln anwenden, sondern auch ein wenig nachdenken muss (in der Mathematik kann das nützlich sein ☺)

Beispiel (OGE). Finden Sie die Summe aller negativen Terme der Progression: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Lösung:

Antwort: \(S_(65)=-630,5\).

Beispiel (OGE). Die arithmetische Folge wird durch die Bedingungen festgelegt: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Finden Sie die Summe vom \(26\)-ten bis zum \(42\)-Element einschließlich.
Lösung:

Antwort: \(S=1683\).

Für die arithmetische Progression gibt es noch einige weitere Formeln, die wir aufgrund ihres geringen praktischen Nutzens in diesem Artikel nicht berücksichtigt haben. Sie können sie jedoch leicht finden.

Das Motto unserer Lektion werden die Worte des russischen Mathematikers V.P. sein. Ermakova: „In der Mathematik sollte man sich nicht an Formeln erinnern, sondern an Denkprozesse.“

Während des Unterrichts

Formulierung des Problems

Auf der Tafel ist ein Porträt von Gauß zu sehen. Ein Lehrer oder Schüler, dem die Aufgabe übertragen wurde, im Voraus eine Nachricht vorzubereiten, erzählt, dass der Lehrer, als Gauß in der Schule war, die Schüler gebeten hat, alle natürlichen Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Der kleine Gauß hat dieses Problem in einer Minute gelöst.

Frage . Wie kam Gauß zur Antwort?

Lösungen finden

Die Schüler äußern ihre Annahmen und fassen dann zusammen: Sie stellen fest, dass die Summen 1 + 100, 2 + 99 usw. sind. gleich sind, multipliziert Gauß 101 mit 50, also mit der Anzahl solcher Summen. Mit anderen Worten, er bemerkte ein Muster, das der arithmetischen Progression innewohnt.

Herleitung der Summenformel N erste Terme einer arithmetischen Folge

Schreiben Sie das Thema der Lektion an die Tafel und in Ihre Notizbücher. Die Schüler schreiben zusammen mit dem Lehrer die Schlussfolgerung der Formel auf:

Lassen A 1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 ; ...; ein – 2 ; ein – 1 ; ein- arithmetische Folge.

Primärkonsolidierung

1. Mit Formel (1) lösen wir das Gauß-Problem:

2. Lösen Sie Probleme mithilfe der Formel (1) mündlich (ihre Bedingungen sind an die Tafel geschrieben oder im positiven Code angegeben), ( ein) - arithmetische Folge:

A) A 1 = 2, A 10 = 20. S 10 - ?

B) A 1 = –5, A 7 = 1. S 7 - ? [–14]

V) A 1 = –2, A 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) A 1 = –5, A 11 = 5. S 11 - ?

3. Schließen Sie die Aufgabe ab.

Gegeben: ( ein) - arithmetische Folge;

A 1 = 3, A 60 = 57.

Finden: S 60 .

Lösung. Verwenden wir die Summenformel N erste Terme einer arithmetischen Folge

Antwort: 1800.

Zusatzfrage. Wie viele verschiedene Probleme können mit dieser Formel gelöst werden?

Antwort. Vier Arten von Aufgaben:

Finden Sie den Betrag S n;

Finden Sie den ersten Term einer arithmetischen Folge A 1 ;

Finden N Term einer arithmetischen Folge ein;

Ermitteln Sie die Anzahl der Terme einer arithmetischen Folge.

4. Erledige Aufgabe: Nr. 369(b).

Ermitteln Sie die Summe der ersten sechzig Terme der arithmetischen Folge ( ein), Wenn A 1 = –10,5, A 60 = 51,5.

Lösung.

Antwort: 1230.

Zusatzfrage. Schreiben Sie die Formel auf N Term einer arithmetischen Folge.

Antwort: ein = A 1 + D(N – 1).

5. Berechnen Sie die Formel für die ersten neun Terme der arithmetischen Folge ( b n),
Wenn B 1 = –17, D = 6.

Kann man mit einer Formel sofort rechnen?

Nein, denn der neunte Begriff ist unbekannt.

Wie finde ich es?

Nach der Formel N Term einer arithmetischen Folge.

Lösung. B 9 = B 1 + 8D = –17 + 8∙6 = 31;

Antwort: 63.

Frage. Ist es möglich, die Summe zu ermitteln, ohne den neunten Term der Progression zu berechnen?

Formulierung des Problems

Problem: Ermittlung der Summenformel N erste Terme einer arithmetischen Folge, wobei ihr erster Term und ihre Differenz bekannt sind D.

(Herleiten einer Formel an der Tafel durch einen Schüler.)

Lösen wir Nr. 371(a) mit der neuen Formel (2):

Lassen Sie uns die Formeln (2) verbal festlegen ( Die Bedingungen der Aufgaben werden an die Tafel geschrieben).

(ein

1. A 1 = 3, D = 4. S 4 - ?

2. A 1 = 2, D = –5. S 3 - ? [–9]

Finden Sie von den Studierenden heraus, welche Fragen unklar sind.

Selbstständige Arbeit

Variante 1

1. A 1 = –3, A 6 = 21. S 6 - ?

2. A 1 = 6, D = –3. S 4 - ?

Option 2

Gegeben: (ein) - arithmetische Folge.

1.A 1 = 2, A 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.A 1 = –7, D = 4. S 5 - ?

Die Schüler tauschen Notizbücher aus und überprüfen gegenseitig ihre Lösungen.

Fassen Sie das Gelernte des Stoffes auf der Grundlage der Ergebnisse selbstständiger Arbeit zusammen.

Erste Ebene

Arithmetische Folge. Detaillierte Theorie mit Beispielen (2019)

Zahlenfolge

Setzen wir uns also hin und beginnen mit dem Schreiben einiger Zahlen. Zum Beispiel:
Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele davon sein, wie Sie möchten (in unserem Fall gibt es sie). Egal wie viele Zahlen wir schreiben, wir können immer sagen, welche die erste, welche die zweite ist und so weiter, bis zur letzten, das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge:

Zahlenfolge
Zum Beispiel für unsere Sequenz:

Die zugewiesene Nummer ist nur für eine Nummer in der Sequenz spezifisch. Mit anderen Worten, es gibt keine drei Sekunden langen Zahlen in der Sequenz. Die zweite Zahl ist (wie auch die te Zahl) immer gleich.
Die Zahl mit Zahl heißt das te Glied der Folge.

Normalerweise nennen wir die gesamte Sequenz mit einem Buchstaben (zum Beispiel), und jedes Mitglied dieser Sequenz ist derselbe Buchstabe mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

In unserem Fall:

Nehmen wir an, wir haben eine Zahlenfolge, in der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.
Zum Beispiel:

usw.
Diese Zahlenfolge nennt man arithmetische Folge.
Der Begriff „Progression“ wurde bereits im 6. Jahrhundert vom römischen Autor Boethius eingeführt und im weiteren Sinne als eine unendliche Zahlenfolge verstanden. Der Name „Arithmetik“ wurde von der Theorie der stetigen Proportionen übernommen, die von den alten Griechen untersucht wurde.

Dabei handelt es sich um eine Zahlenfolge, bei der jedes Mitglied dem vorherigen gleich ist, addiert zur gleichen Zahl. Diese Zahl wird als Differenz einer arithmetischen Folge bezeichnet und bezeichnet.

Versuchen Sie herauszufinden, welche Zahlenfolgen eine arithmetische Folge sind und welche nicht:

A)
B)
C)
D)

Habe es? Vergleichen wir unsere Antworten:
Ist arithmetische Folge - b, c.
Ist nicht arithmetische Folge - a, d.

Kehren wir zur angegebenen Progression () zurück und versuchen, den Wert ihres th-Terms zu ermitteln. Existiert zwei Weg, es zu finden.

1. Methode

Wir können die Progressionszahl zum vorherigen Wert addieren, bis wir den dritten Term der Progression erreichen. Gut, dass wir nicht viel zusammenfassen müssen – nur drei Werte:

Der te Term der beschriebenen arithmetischen Folge ist also gleich.

2. Methode

Was wäre, wenn wir den Wert des dritten Termes der Progression ermitteln müssten? Die Summierung würde mehr als eine Stunde dauern, und es ist keine Tatsache, dass wir beim Addieren von Zahlen keine Fehler machen würden.
Natürlich haben Mathematiker einen Weg gefunden, bei dem es nicht notwendig ist, die Differenz einer arithmetischen Folge zum vorherigen Wert zu addieren. Schauen Sie sich das gezeichnete Bild genauer an... Sicher ist Ihnen schon ein bestimmtes Muster aufgefallen, nämlich:

Sehen wir uns zum Beispiel an, woraus der Wert des dritten Termes dieser arithmetischen Folge besteht:


Mit anderen Worten:

Versuchen Sie auf diese Weise selbst den Wert eines Gliedes einer gegebenen arithmetischen Folge zu ermitteln.

Hast du berechnet? Vergleichen Sie Ihre Notizen mit der Antwort:

Bitte beachten Sie, dass Sie genau die gleiche Zahl wie bei der vorherigen Methode erhalten haben, als wir die Terme der arithmetischen Folge nacheinander zum vorherigen Wert hinzugefügt haben.
Versuchen wir, diese Formel zu „entpersonalisieren“ – bringen wir sie hinein generelle Form und wir bekommen:

Arithmetische Folgen können steigend oder fallend sein.

Zunehmend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme größer ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Absteigend- Progressionen, bei denen jeder nachfolgende Wert der Terme kleiner ist als der vorherige.
Zum Beispiel:

Die abgeleitete Formel wird bei der Berechnung von Termen in steigenden und fallenden Termen einer arithmetischen Folge verwendet.
Lassen Sie uns dies in der Praxis überprüfen.
Wir erhalten eine arithmetische Folge, die aus den folgenden Zahlen besteht: Schauen wir uns an, wie die te-Zahl dieser arithmetischen Folge aussehen wird, wenn wir sie mit unserer Formel berechnen:

Seit damals:

Daher sind wir davon überzeugt, dass die Formel sowohl in abnehmender als auch in zunehmender arithmetischer Folge funktioniert.
Versuchen Sie, das te- und das te-Term dieser arithmetischen Folge selbst zu finden.

Vergleichen wir die Ergebnisse:

Arithmetische Progressionseigenschaft

Verkomplizieren wir das Problem – wir leiten die Eigenschaft der arithmetischen Folge ab.
Nehmen wir an, wir erhalten die folgende Bedingung:
- Arithmetische Folge, finde den Wert.
Ganz einfach, sagen Sie und fangen an, nach der Formel zu zählen, die Sie bereits kennen:

Lass, ah, dann:

Absolut richtig. Es stellt sich heraus, dass wir zuerst finden, es dann zur ersten Zahl addieren und erhalten, wonach wir suchen. Wenn die Progression durch kleine Werte dargestellt wird, ist das nicht kompliziert, aber was ist, wenn uns in der Bedingung Zahlen gegeben werden? Stimmen Sie zu, es besteht die Möglichkeit, dass bei den Berechnungen ein Fehler gemacht wird.
Überlegen Sie nun, ob es möglich ist, dieses Problem mit einer beliebigen Formel in einem Schritt zu lösen? Natürlich ja, und das werden wir jetzt versuchen herauszustellen.

Bezeichnen wir den erforderlichen Term der arithmetischen Folge als, die Formel zu deren Ermittlung ist uns bekannt – dies ist dieselbe Formel, die wir zu Beginn abgeleitet haben:
, Dann:

• Der bisherige Term der Progression ist:
• Der nächste Term der Progression ist:

Fassen wir die vorherigen und nachfolgenden Bedingungen der Progression zusammen:

Es stellt sich heraus, dass die Summe der vorherigen und nachfolgenden Terme der Progression der doppelte Wert des dazwischen liegenden Progressionsterms ist. Mit anderen Worten: Um den Wert eines Progressionsterms mit bekannten vorherigen und nachfolgenden Werten zu ermitteln, müssen Sie diese addieren und durch dividieren.

Stimmt, wir haben die gleiche Nummer. Sichern wir das Material. Berechnen Sie den Wert für die Progression selbst, es ist überhaupt nicht schwierig.

Gut gemacht! Du weißt fast alles über Fortschritt! Es bleibt nur noch eine Formel herauszufinden, die der Legende nach von einem der größten Mathematiker aller Zeiten, dem „König der Mathematiker“ – Karl Gauß, leicht abgeleitet werden konnte …

Als Carl Gauss 9 Jahre alt war, stellte ein Lehrer, der damit beschäftigt war, die Arbeit der Schüler anderer Klassen zu überprüfen, im Unterricht die folgende Aufgabe: „Berechnen Sie die Summe von allem.“ natürliche Zahlen von bis (nach anderen Quellen bis) einschließlich.“ Stellen Sie sich die Überraschung des Lehrers vor, als einer seiner Schüler (das war Karl Gauß) eine Minute später die richtige Antwort auf die Aufgabe gab, während die meisten Klassenkameraden des Draufgängers nach langen Berechnungen das falsche Ergebnis erhielten ...

Der junge Carl Gauß bemerkte ein bestimmtes Muster, das auch Sie leicht erkennen können.
Nehmen wir an, wir haben eine arithmetische Folge, die aus -ten Termen besteht: Wir müssen die Summe dieser Terme der arithmetischen Folge ermitteln. Natürlich können wir alle Werte manuell summieren, aber was ist, wenn die Aufgabe das Ermitteln der Summe ihrer Terme erfordert, wie Gauß es gesucht hat?

Lassen Sie uns den uns gegebenen Fortschritt darstellen. Schauen Sie sich die hervorgehobenen Zahlen genauer an und versuchen Sie, verschiedene mathematische Operationen damit durchzuführen.


Hast du es versucht? Was haben Sie bemerkt? Rechts! Ihre Summen sind gleich

Sagen Sie mir nun, wie viele solcher Paare gibt es insgesamt in der uns gegebenen Progression? Natürlich genau die Hälfte aller Zahlen.
Basierend auf der Tatsache, dass die Summe zweier Terme einer arithmetischen Folge gleich ist und ähnliche Paare gleich sind, erhalten wir, dass die Gesamtsumme gleich ist:
.
Somit lautet die Formel für die Summe der ersten Terme jeder arithmetischen Folge:

Bei manchen Problemen kennen wir den Term nicht, aber wir kennen den Unterschied in der Progression. Versuchen Sie, die Formel des th-Terms in die Summenformel einzusetzen.
Was hast du bekommen?

Gut gemacht! Kehren wir nun zu dem Problem zurück, das Carl Gauss gestellt wurde: Berechnen Sie selbst, wie groß die Summe der Zahlen ist, die mit dem Th beginnen, und wie hoch die Summe der Zahlen ist, die mit dem Th beginnen.

Wie viel hast du bekommen?
Gauß stellte fest, dass die Summe der Terme gleich ist und die Summe der Terme gleich ist. Haben Sie sich dafür entschieden?

Tatsächlich wurde die Formel für die Summe der Terme einer arithmetischen Folge bereits im 3. Jahrhundert und in dieser Zeit von dem antiken griechischen Wissenschaftler Diophantus bewiesen witzige Leute nutzte die Eigenschaften der arithmetischen Progression voll aus.
Stellen Sie sich zum Beispiel vor Antikes Ägypten und das größte Bauprojekt dieser Zeit – der Bau einer Pyramide... Das Bild zeigt eine Seite davon.

Wo ist hier der Fortschritt, sagen Sie? Schauen Sie genau hin und finden Sie ein Muster in der Anzahl der Sandblöcke in jeder Reihe der Pyramidenwand.


Warum nicht eine arithmetische Folge? Berechnen Sie, wie viele Blöcke zum Bau einer Mauer benötigt werden, wenn an der Basis Blockziegel platziert werden. Ich hoffe, Sie zählen nicht, während Sie Ihren Finger über den Monitor bewegen. Erinnern Sie sich an die letzte Formel und alles, was wir über den arithmetischen Fortschritt gesagt haben?

IN in diesem Fall Fortschritt sieht aus wie auf die folgende Weise: .
Arithmetischer Fortschrittsunterschied.
Die Anzahl der Terme einer arithmetischen Folge.
Setzen wir unsere Daten in die letzten Formeln ein (berechnen wir die Anzahl der Blöcke auf zwei Arten).

Methode 1.

Methode 2.

Und jetzt können Sie am Monitor rechnen: Vergleichen Sie die erhaltenen Werte mit der Anzahl der Blöcke, die sich in unserer Pyramide befinden. Habe es? Gut gemacht, Sie beherrschen die Summe der n-ten Terme einer arithmetischen Folge.
Natürlich kann man eine Pyramide nicht aus Blöcken an der Basis bauen, aber aus? Versuchen Sie zu berechnen, wie viele Sandsteine ​​benötigt werden, um unter dieser Bedingung eine Mauer zu bauen.
Hast du es geschafft?
Die richtige Antwort lautet Blöcke:

Ausbildung

Aufgaben:

1. Mascha macht sich fit für den Sommer. Jeden Tag erhöht sie die Anzahl der Kniebeugen um. Wie oft wird Mascha in der Woche Kniebeugen machen, wenn sie bei der ersten Trainingseinheit Kniebeugen gemacht hat?
2. Wie groß ist die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen?
3. Beim Speichern von Protokollen stapeln Holzfäller sie so, dass sie jeweils obere Schicht enthält ein Protokoll weniger als das vorherige. Wie viele Baumstämme enthält ein Mauerwerk, wenn das Fundament des Mauerwerks aus Baumstämmen besteht?

Antworten:

1. Definieren wir die Parameter der arithmetischen Folge. In diesem Fall
   (Wochen = Tage).

   Antwort: In zwei Wochen sollte Mascha einmal am Tag Kniebeugen machen.

2. Erste ungerade Zahl, letzte Zahl.
   Arithmetischer Fortschrittsunterschied.
   Die Anzahl der ungeraden Zahlen beträgt die Hälfte. Überprüfen wir diese Tatsache jedoch anhand der Formel zum Ermitteln des ten Glieds einer arithmetischen Folge:

   Zahlen enthalten ungerade Zahlen.
   Ersetzen wir die verfügbaren Daten in der Formel:

   Antwort: Die Summe aller darin enthaltenen ungeraden Zahlen ist gleich.

3. Erinnern wir uns an das Problem mit den Pyramiden. In unserem Fall a gilt: Da jede oberste Schicht um einen Log reduziert wird, gibt es insgesamt eine Reihe von Schichten.
   Ersetzen wir die Daten in der Formel:

   Antwort: Im Mauerwerk liegen Baumstämme.

Fassen wir es zusammen

1. - eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist. Es kann zu- oder abnehmend sein.
2. Formel finden Der te Term einer arithmetischen Folge wird durch die Formel - geschrieben, wobei die Anzahl der Zahlen in der Folge angegeben ist.
3. Eigenschaft der Mitglieder einer arithmetischen Folge- - wobei die Anzahl der fortlaufenden Zahlen ist.
4. Die Summe der Terme einer arithmetischen Folge kann auf zwei Arten gefunden werden:
   
   , wobei die Anzahl der Werte ist.

Arithmetische Progression. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Zahlenfolge

Setzen wir uns hin und beginnen ein paar Zahlen aufzuschreiben. Zum Beispiel:

Sie können beliebige Zahlen schreiben, und es können so viele sein, wie Sie möchten. Aber wir können immer sagen, welches das erste, welches das zweite ist usw., das heißt, wir können sie nummerieren. Dies ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge.

Zahlenfolge ist eine Menge von Zahlen, denen jeweils eine eindeutige Nummer zugewiesen werden kann.

Mit anderen Worten: Jede Zahl kann einer bestimmten natürlichen Zahl zugeordnet werden, und zwar einer eindeutigen. Und wir werden diese Nummer keiner anderen Nummer aus diesem Set zuordnen.

Die Zahl mit der Zahl heißt das te Glied der Folge.

Normalerweise nennen wir die gesamte Sequenz mit einem Buchstaben (zum Beispiel), und jedes Mitglied dieser Sequenz ist derselbe Buchstabe mit einem Index, der der Nummer dieses Mitglieds entspricht: .

Es ist sehr praktisch, wenn der te Term der Folge durch eine Formel angegeben werden kann. Zum Beispiel die Formel

legt die Reihenfolge fest:

Und die Formel ist die folgende Reihenfolge:

Beispielsweise ist eine arithmetische Folge eine Folge (hier ist der erste Term gleich und die Differenz gleich). Oder (, Unterschied).

n-te Termformel

Wir nennen eine rekurrente Formel, bei der Sie zum Ermitteln des th-Terms den vorherigen oder mehrere vorherige kennen müssen:

Um zum Beispiel das te Glied der Progression mit dieser Formel zu finden, müssen wir die vorherigen neun berechnen. Lass es zum Beispiel. Dann:

Ist nun klar, wie die Formel lautet?

In jeder Zeile addieren wir, multipliziert mit einer Zahl. Welcher? Ganz einfach: Das ist die Nummer des aktuellen Mitglieds minus:

Jetzt doch viel bequemer, oder? Wir überprüfen:

Entscheide dich selbst:

Finden Sie in einer arithmetischen Folge die Formel für den n-ten Term und den hundertsten Term.

Lösung:

Der erste Term ist gleich. Was ist der Unterschied? Hier ist was:

(Deshalb wird es Differenz genannt, weil es gleich der Differenz aufeinanderfolgender Terme der Progression ist).

Also die Formel:

Dann ist der hundertste Term gleich:

Wie groß ist die Summe aller natürlichen Zahlen von bis?

Der Legende nach hat der große Mathematiker Carl Gauß als 9-jähriger Junge diesen Betrag in wenigen Minuten berechnet. Er bemerkte, dass die Summe der ersten und letzten Zahl gleich ist, die Summe der zweiten und vorletzten gleich ist, die Summe der dritten und dritten Zahl vom Ende gleich ist und so weiter. Wie viele solcher Paare gibt es insgesamt? Das ist richtig, also genau die Hälfte aller Zahlen. Also,

Die allgemeine Formel für die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge lautet:

Beispiel:
Finden Sie die Summe aller zweistelligen Vielfachen.

Lösung:

Die erste dieser Zahlen ist diese. Jede nachfolgende Zahl wird durch Addition zur vorherigen Zahl erhalten. Somit bilden die Zahlen, die uns interessieren, eine arithmetische Folge mit dem ersten Term und der Differenz.

Formel des th-Terms für diese Progression:

Wie viele Begriffe gibt es in der Folge, wenn sie alle zweistellig sein müssen?

Sehr leicht: .

Der letzte Term der Progression wird gleich sein. Dann ist die Summe:

Antwort: .

Entscheiden Sie jetzt selbst:

1. Jeden Tag läuft der Sportler mehr Meter als am Vortag. Wie viele Gesamtkilometer wird er in einer Woche laufen, wenn er am ersten Tag km m laufen würde?
2. Ein Radfahrer legt jeden Tag mehr Kilometer zurück als am Vortag. Am ersten Tag legte er km zurück. Wie viele Tage muss er fahren, um einen Kilometer zurückzulegen? Wie viele Kilometer wird er am letzten Tag seiner Reise zurücklegen?
3. Der Preis für einen Kühlschrank in einem Geschäft sinkt jedes Jahr um den gleichen Betrag. Bestimmen Sie, wie stark der Preis eines Kühlschranks jedes Jahr gesunken ist, wenn er sechs Jahre später für Rubel verkauft wurde.

Antworten:

1. Dabei geht es vor allem darum, die arithmetische Folge zu erkennen und ihre Parameter zu bestimmen. In diesem Fall (Wochen = Tage). Sie müssen die Summe der ersten Terme dieser Progression bestimmen:
   .
   Antwort:
2. Hier gilt: , muss gefunden werden.
   Offensichtlich müssen Sie dieselbe Summenformel wie im vorherigen Problem verwenden:
   .
   Ersetzen Sie die Werte:

   Die Wurzel passt offensichtlich nicht, also lautet die Antwort.
   Berechnen wir den am letzten Tag zurückgelegten Weg mit der Formel des th-Terms:
   (km).
   Antwort:

3. Gegeben: . Finden: .
   Es könnte nicht einfacher sein:
   (reiben).
   Antwort:

Arithmetische Progression. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Dies ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zwischen benachbarten Zahlen gleich und gleich ist.

Der arithmetische Fortschritt kann steigend () und fallend () sein.

Zum Beispiel:

Formel zum Finden des n-ten Termes einer arithmetischen Folge

wird durch die Formel geschrieben, wobei die Anzahl der fortlaufenden Zahlen ist.

Eigenschaft der Mitglieder einer arithmetischen Folge

Damit können Sie einen Term einer Folge leicht finden, wenn die benachbarten Terme bekannt sind – wo ist die Anzahl der Zahlen in der Folge.

Summe der Terme einer arithmetischen Folge

Es gibt zwei Möglichkeiten, den Betrag zu ermitteln:

Wo ist die Anzahl der Werte?

Wo ist die Anzahl der Werte?