Fläche eines geradlinigen Trapezintegrals. Wie berechnet man die Fläche einer ebenen Figur mithilfe eines Doppelintegrals? In diesem Fall
Wir haben herausgefunden, wie man die Fläche eines gebogenen Trapezes G findet. Hier sind die resultierenden Formeln:
für eine stetige und nicht negative Funktion y=f(x) auf dem Segment, 
für eine stetige und nicht positive Funktion y=f(x) auf dem Segment.
Allerdings muss man sich bei der Lösung von Flächensuchproblemen häufig mit komplexeren Zahlen auseinandersetzen.
In diesem Artikel werden wir über die Berechnung der Fläche von Figuren sprechen, deren Grenzen explizit durch Funktionen spezifiziert werden, also als y=f(x) oder x=g(y), und wir werden die Lösung von typisch im Detail analysieren Beispiele.
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Formel zur Berechnung der Fläche einer durch Linien y=f(x) oder x=g(y) begrenzten Figur.
Satz.
Die Funktionen und seien im Intervall und für jeden Wert x von definiert und stetig. Dann Bereich der Figur G, begrenzt durch Linien x=a , x=b und wird nach der Formel berechnet 
.
Eine ähnliche Formel gilt für die Fläche einer Figur, die durch die Linien y=c, y=d und begrenzt wird: 
.
Nachweisen.
Zeigen wir die Gültigkeit der Formel für drei Fälle: 
Im ersten Fall, wenn beide Funktionen aufgrund der Additivitätseigenschaft der Fläche nicht negativ sind, ist die Summe der Fläche der ursprünglichen Figur G und des krummlinigen Trapezes gleich der Fläche der Figur. Somit, 
Deshalb, . Der letzte Übergang ist aufgrund der dritten Eigenschaft des bestimmten Integrals möglich.
Auch im zweiten Fall gilt die Gleichheit. Hier ist eine grafische Darstellung: 
Im dritten Fall, wenn beide Funktionen nichtpositiv sind, gilt . Lassen Sie uns dies veranschaulichen: 
Jetzt können wir zum allgemeinen Fall übergehen, wenn die Funktionen und die Ox-Achse schneiden.
Bezeichnen wir die Schnittpunkte. Diese Punkte teilen das Segment in n Teile, wobei . Die Figur G kann durch eine Zahlenvereinigung dargestellt werden 
. Offensichtlich fällt es in seinem Intervall unter einen der drei zuvor betrachteten Fälle, daher werden ihre Bereiche als gefunden 
Somit, 
Der letzte Übergang ist aufgrund der fünften Eigenschaft des bestimmten Integrals gültig.
Grafische Darstellung des allgemeinen Falles.
Also die Formel bewiesen.
Es ist an der Zeit, mit der Lösung von Beispielen zum Ermitteln der Fläche von Figuren fortzufahren, die durch die Linien y=f(x) und x=g(y) begrenzt werden.
Beispiele für die Berechnung der Fläche einer Figur, die durch die Linien y=f(x) oder x=g(y) begrenzt wird.
Wir beginnen mit der Lösung jedes Problems, indem wir eine Figur auf einer Ebene konstruieren. Dadurch können wir uns eine komplexe Figur als eine Vereinigung einfacherer Figuren vorstellen. Wenn Sie Schwierigkeiten beim Aufbau haben, lesen Sie bitte die Artikel: ; Und .
Beispiel.
Berechnen Sie die Fläche einer durch eine Parabel begrenzten Figur 
und gerade Linien, x=1, x=4.
Lösung.
Zeichnen wir diese Linien auf einer Ebene. 
Überall auf dem Segment der Graph einer Parabel oberhalb der Geraden. Daher wenden wir die zuvor erhaltene Formel für die Fläche an und berechnen das bestimmte Integral mithilfe der Newton-Leibniz-Formel: 
Machen wir das Beispiel etwas komplizierter.
Beispiel.
Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur.
Lösung.
Wie unterscheidet sich das von früheren Beispielen? Früher hatten wir immer zwei Geraden parallel zur x-Achse, jetzt haben wir nur noch eine x=7. Es stellt sich sofort die Frage: Woher kommt die zweite Integrationsgrenze? Schauen wir uns hierzu die Zeichnung an. 
Es wurde deutlich, dass die untere Integrationsgrenze bei der Ermittlung der Fläche einer Figur die Abszisse des Schnittpunkts des Graphen der Geraden y=x und der Halbparabel ist. Wir finden diese Abszisse aus der Gleichheit: 
Daher ist die Abszisse des Schnittpunkts x=2.
Beachten Sie.
In unserem Beispiel und in der Zeichnung wird deutlich, dass sich die Geraden und y=x im Punkt (2;2) schneiden und die vorherigen Berechnungen unnötig erscheinen. Aber in anderen Fällen sind die Dinge möglicherweise nicht so offensichtlich. Wir empfehlen daher, die Abszissen und Ordinaten der Schnittpunkte von Geraden stets analytisch zu berechnen.
Offensichtlich liegt der Graph der Funktion y=x über dem Graphen der Funktion im Intervall. Zur Berechnung der Fläche wenden wir die Formel an: 
Machen wir die Aufgabe noch schwieriger.
Beispiel.
Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Funktionsgraphen und begrenzt wird 
.
Lösung.
Lassen Sie uns einen Graphen mit umgekehrter Proportionalität und Parabeln erstellen .
Bevor wir die Formel anwenden, um die Fläche einer Figur zu ermitteln, müssen wir die Integrationsgrenzen festlegen. Dazu ermitteln wir die Abszisse der Schnittpunkte der Geraden und setzen die Ausdrücke gleich und .
Für x-Werte ungleich Null gilt die Gleichheit 
entspricht der Gleichung dritten Grades 
mit ganzzahligen Koeffizienten. Sie können den Abschnitt lesen, um sich den Algorithmus zur Lösung des Problems zu merken.
Es lässt sich leicht überprüfen, dass x=1 die Wurzel dieser Gleichung ist: .
Durch Teilen des Ausdrucks 
für das Binomial x-1 gilt:
Somit werden die verbleibenden Wurzeln aus der Gleichung ermittelt 
:
Aus der Zeichnung wurde nun deutlich, dass die Figur G oberhalb der blauen und unterhalb der roten Linie des Intervalls enthalten ist 
. Somit ist die erforderliche Fläche gleich 
Schauen wir uns ein weiteres typisches Beispiel an.
Beispiel.
Berechnen Sie die Fläche einer durch Kurven begrenzten Figur 
und die Abszissenachse.
Lösung.
Machen wir eine Zeichnung.
Dies ist eine gewöhnliche Potenzfunktion mit einem Exponenten von einem Drittel, dem Graphen der Funktion 
kann aus dem Diagramm ermittelt werden, indem man es symmetrisch zur x-Achse darstellt und um eins erhöht. 
Finden wir die Schnittpunkte aller Geraden.
Auf der Abszissenachse gilt die Gleichung y=0.
Die Graphen der Funktionen und y=0 schneiden sich im Punkt (0;0), da x=0 die einzige echte Wurzel der Gleichung ist.
Funktionsgraphen und y=0 schneiden sich im Punkt (2;0), da x=2 die einzige Wurzel der Gleichung ist 
.
Funktionsgraphen und schneiden sich im Punkt (1;1), da x=1 die einzige Wurzel der Gleichung ist 
. Diese Aussage ist nicht ganz offensichtlich, aber die Funktion ist streng zunehmend und - streng abnehmend also die Gleichung hat höchstens eine Wurzel.
Einziger Hinweis: In diesem Fall müssen Sie zur Ermittlung der Fläche eine Formel der Form verwenden 
. Das heißt, die Begrenzungslinien müssen als Funktionen des Arguments dargestellt werden y und die schwarze Linie. 
Bestimmen wir die Schnittpunkte der Linien.
Beginnen wir mit den Funktionsgraphen und: 
Finden wir den Schnittpunkt der Funktionsgraphen und: 
Es bleibt noch der Schnittpunkt der Geraden zu finden und: 
Wie Sie sehen, sind die Werte gleich.
Zusammenfassen.
Wir haben alle häufigsten Fälle analysiert, in denen die Fläche einer Figur ermittelt wird, die durch explizit definierte Linien begrenzt wird. Dazu müssen Sie in der Lage sein, Linien auf einer Ebene zu konstruieren, die Schnittpunkte der Linien zu finden und die Formel zur Flächenermittlung anzuwenden, was die Fähigkeit zur Berechnung bestimmter Integrale voraussetzt.
Berechnen der Fläche einer Figur- Dies ist vielleicht eines der schwierigsten Probleme der Flächentheorie. In der Schulgeometrie wird ihnen beigebracht, die Flächen grundlegender geometrischer Formen wie zum Beispiel eines Dreiecks, einer Raute, eines Rechtecks, eines Trapezes, eines Kreises usw. zu finden. Allerdings muss man sich oft mit der Flächenberechnung komplexerer Figuren befassen. Bei der Lösung solcher Probleme ist es sehr praktisch, die Integralrechnung zu verwenden.
Definition.
Krummliniges Trapez Nennen Sie eine Figur G, die durch die Geraden y = f(x), y = 0, x = a und x = b begrenzt ist und deren Funktion f(x) auf der Strecke [a; b] und ändert sein Vorzeichen darauf nicht (Abb. 1). Die Fläche eines gekrümmten Trapezes kann mit S(G) bezeichnet werden.
Ein bestimmtes Integral ʃ a b f(x)dx für die Funktion f(x), das im Intervall [a; b] und ist die Fläche des entsprechenden gebogenen Trapezes.
Das heißt, um die Fläche einer Figur G zu finden, die durch die Linien y = f(x), y = 0, x = a und x = b begrenzt wird, ist es notwendig, das bestimmte Integral ʃ a b f(x)dx zu berechnen .
Auf diese Weise, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Wenn die Funktion y = f(x) auf [a; b], dann kann die Fläche eines gekrümmten Trapezes mit der Formel ermittelt werden S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
Beispiel 1.
Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien y = x 3 begrenzt wird; y = 1; x = 2.
Lösung.
Die angegebenen Linien bilden die Figur ABC, die durch Schraffur dargestellt ist Reis. 2.
Die erforderliche Fläche ist gleich der Differenz zwischen den Flächen des gebogenen Trapezes DACE und des Quadrats DABE.
Mit der Formel S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) ermitteln wir die Grenzen der Integration. Dazu lösen wir ein System aus zwei Gleichungen:
(y = x 3,
(y = 1.
Somit gilt x 1 = 1 – die untere Grenze und x = 2 – die obere Grenze.
Also, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (Quadrateinheiten).
Antwort: 11/4 qm. Einheiten
Beispiel 2.
Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien y = √x begrenzt wird; y = 2; x = 9.
Lösung.
Die angegebenen Geraden bilden die ABC-Figur, die oben durch den Funktionsgraphen begrenzt wird
y = √x, und unten ist ein Diagramm der Funktion y = 2. Die resultierende Zahl ist durch Schraffur dargestellt Reis. 3.
Die erforderliche Fläche ist S = ʃ a b (√x – 2). Finden wir die Grenzen der Integration: b = 9, um a zu finden, lösen wir ein System aus zwei Gleichungen:
(y = √x,
(y = 2.
Somit gilt x = 4 = a – das ist die untere Grenze.
Also, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (Quadrateinheiten).
Antwort: S = 2 2/3 Quadratmeter. Einheiten
Beispiel 3.
Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien y = x 3 – 4x begrenzt wird; y = 0; x ≥ 0.
Lösung.
Zeichnen wir die Funktion y = x 3 – 4x für x ≥ 0. Finden Sie dazu die Ableitung y’:
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 bei x = ±2/√3 ≈ 1,1 – kritische Punkte.
Wenn wir die kritischen Punkte auf der Zahlengeraden eintragen und die Vorzeichen der Ableitung anordnen, stellen wir fest, dass die Funktion von Null auf 2/√3 abnimmt und von 2/√3 auf plus unendlich ansteigt. Dann ist x = 2/√3 der Minimalpunkt, der Minimalwert der Funktion y min = -16/(3√3) ≈ -3.
Bestimmen wir die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen:
wenn x = 0, dann ist y = 0, was bedeutet, dass A(0; 0) der Schnittpunkt mit der Oy-Achse ist;
wenn y = 0, dann x 3 – 4x = 0 oder x(x 2 – 4) = 0, oder x(x – 2)(x + 2) = 0, daher x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (nicht geeignet, da x ≥ 0).
Die Punkte A(0; 0) und B(2; 0) sind die Schnittpunkte des Graphen mit der Ox-Achse.
Die angegebenen Linien bilden die OAB-Zahl, die durch Schraffur dargestellt ist Reis. 4.
Da die Funktion y = x 3 – 4x auf (0; 2) einen negativen Wert annimmt, dann
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Wir haben: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, daher S = 4 Quadrat. Einheiten
Antwort: S = 4 qm. Einheiten
Beispiel 4.
Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Parabel y = 2x 2 – 2x + 1, die Geraden x = 0, y = 0 und die Tangente an diese Parabel am Punkt mit der Abszisse x 0 = 2 begrenzt wird.
Lösung.
Erstellen wir zunächst eine Gleichung für die Tangente an die Parabel y = 2x 2 – 2x + 1 am Punkt mit der Abszisse x₀ = 2.
Da die Ableitung y’ = 4x – 2 ist, erhalten wir für x 0 = 2 k = y’(2) = 6.
Finden wir die Ordinate des Tangentenpunkts: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Daher hat die Tangentengleichung die Form: y – 5 = 6(x – 2) oder y = 6x – 7.
Lassen Sie uns eine durch Linien begrenzte Figur erstellen:
y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.
Г у = 2х 2 – 2х + 1 – Parabel. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: A(0; 1) – mit der Oy-Achse; mit der Ox-Achse - es gibt keine Schnittpunkte, weil die Gleichung 2x 2 – 2x + 1 = 0 hat keine Lösungen (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, das heißt, der Scheitelpunkt des Parabelpunkts B hat die Koordinaten B(1/2; 1/2).
Daher wird die Figur, deren Fläche bestimmt werden muss, durch Schraffur angezeigt Reis. 5.
Es gilt: S O A B D = S OABC – S ADBC.
Lassen Sie uns die Koordinaten von Punkt D aus der Bedingung ermitteln:
6x – 7 = 0, d.h. x = 7/6, was DC = 2 – 7/6 = 5/6 bedeutet.
Wir ermitteln die Fläche des Dreiecks DBC mit der Formel S ADBC = 1/2 · DC · BC. Auf diese Weise,
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 Quadrat. Einheiten
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (Quadrateinheiten).
Wir erhalten schließlich: S O A B D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (Quadrateinheiten).
Antwort: S = 1 1/4 Quadratmeter. Einheiten
Wir haben uns Beispiele angesehen Finden der durch vorgegebene Linien begrenzten Figurenflächen. Um solche Probleme erfolgreich zu lösen, müssen Sie in der Lage sein, Linien und Funktionsgraphen auf einer Ebene zu zeichnen, die Schnittpunkte von Linien zu finden und eine Formel zur Ermittlung der Fläche anzuwenden, was die Fähigkeit zur Berechnung bestimmter Integrale impliziert.
Wenn Sie Material ganz oder teilweise kopieren, ist ein Link zur Quelle erforderlich.
Die Funktion sei im Intervall nicht negativ und stetig. Dann ist entsprechend der geometrischen Bedeutung eines bestimmten Integrals die Fläche eines krummlinigen Trapezes, die oben durch den Graphen dieser Funktion, unten durch die Achse, links und rechts durch Geraden und begrenzt wird (siehe Abb. 2). nach der Formel berechnet
Beispiel 9. Finden Sie die Fläche einer Figur, die durch eine Linie begrenzt wird 
und Achse.
Lösung. Funktionsgraph 
ist eine Parabel, deren Äste nach unten gerichtet sind. Lass es uns bauen (Abb. 3). Um die Integrationsgrenzen zu bestimmen, ermitteln wir die Schnittpunkte der Geraden (Parabel) mit der Achse (Gerade). Dazu lösen wir das Gleichungssystem
Wir bekommen: 
, Wo , ; somit, , .
Reis. 3
Wir ermitteln die Fläche der Figur mit Formel (5):
Wenn die Funktion nichtpositiv und stetig auf dem Segment ist, dann wird die Fläche des krummlinigen Trapezes, die unten durch den Graphen dieser Funktion, oben durch die Achse, links und rechts durch Geraden und begrenzt wird, durch berechnet Formel
. (6)
Wenn die Funktion auf einem Segment stetig ist und an einer endlichen Anzahl von Punkten das Vorzeichen ändert, dann ist die Fläche der schattierten Figur (Abb. 4) gleich der algebraischen Summe der entsprechenden bestimmten Integrale:
Reis. 4
Beispiel 10. Berechnen Sie die Fläche der durch die Achse begrenzten Figur und den Graphen der Funktion bei .
Reis. 5
Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 5). Die benötigte Fläche ist die Summe der Flächen und . Lassen Sie uns jeden dieser Bereiche finden. Zunächst bestimmen wir die Grenzen der Integration, indem wir das System lösen 
Wir bekommen , . Somit:
;
.
Somit beträgt die Fläche der schattierten Figur
(Quadrateinheiten).
Reis. 6
Schließlich sei das krummlinige Trapez oben und unten durch die Funktionsgraphen begrenzt, die auf dem Segment stetig sind und ,
und links und rechts - gerade Linien und (Abb. 6). Dann wird seine Fläche nach der Formel berechnet
. (8)
Beispiel 11. Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien und begrenzt wird.
Lösung. Diese Abbildung ist in Abb. dargestellt. 7. Berechnen wir seine Fläche mit Formel (8). Beim Lösen des Gleichungssystems finden wir: ; somit, , . Auf dem Segment haben wir: . Das bedeutet, dass wir in Formel (8) als nehmen X, und als Qualität – . Wir bekommen:
(Quadrateinheiten).
Komplexere Probleme der Flächenberechnung werden gelöst, indem die Figur in nicht überlappende Teile unterteilt und die Fläche der gesamten Figur als Summe der Flächen dieser Teile berechnet wird.
Reis. 7
Beispiel 12. Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , begrenzt wird.
Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 8). Diese Figur kann als krummliniges Trapez betrachtet werden, das von unten durch die Achse, nach links und rechts durch Geraden und von oben durch Funktionsgraphen und begrenzt wird. Da die Figur von oben durch die Graphen zweier Funktionen begrenzt ist, teilen wir zur Berechnung ihrer Fläche diese Geradenfigur in zwei Teile (1 ist die Abszisse des Schnittpunkts der Geraden und ). Die Fläche jedes dieser Teile wird mit der Formel (4) ermittelt:
(Quadrateinheiten); 
(Quadrateinheiten). Somit:
(Quadrateinheiten).
Reis. 8
|
Reis. 9
Zusammenfassend stellen wir fest, dass, wenn ein krummliniges Trapez durch gerade Linien begrenzt ist und , Achse und kontinuierlich auf der Kurve (Abb. 9), dann wird seine Fläche durch die Formel ermittelt
Volumen eines Revolutionskörpers
Lassen Sie ein krummliniges Trapez, das durch den Graphen einer auf einem Segment stetigen Funktion, durch eine Achse, durch Geraden und begrenzt ist, um die Achse rotieren (Abb. 10). Dann wird das Volumen des resultierenden Rotationskörpers nach der Formel berechnet
. (9)
Beispiel 13. Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, der durch Drehung um die Achse eines krummlinigen Trapezes erhalten wird, das durch eine Hyperbel, gerade Linien und eine Achse begrenzt wird.
Lösung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 11).
Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass . Aus Formel (9) erhalten wir
.
Reis. 10
Reis. elf
Volumen eines Körpers, das durch Drehung um eine Achse entsteht OU krummliniges Trapez, das durch gerade Linien begrenzt wird y = c Und y = d, Achse OU und ein Diagramm einer auf einem Segment stetigen Funktion (Abb. 12), bestimmt durch die Formel
. (10)
|
Reis. 12
Beispiel 14. Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, der durch Drehung um eine Achse entsteht OU krummliniges Trapez, begrenzt durch Linien X 2 = 4bei, y = 4, x = 0 (Abb. 13).
Lösung. Entsprechend den Bedingungen des Problems finden wir die Grenzen der Integration: , . Mit Formel (10) erhalten wir:
Reis. 13
Bogenlänge einer ebenen Kurve
Die durch die Gleichung gegebene Kurve soll in der Ebene liegen (Abb. 14).
Reis. 14
Definition. Unter der Länge eines Bogens wird die Grenze verstanden, bis zu der die Länge einer in diesen Bogen eingeschriebenen gestrichelten Linie tendiert, wenn die Anzahl der Glieder der gestrichelten Linie gegen Unendlich geht und die Länge des größten Glieds gegen Null geht.
Wenn eine Funktion und ihre Ableitung auf dem Segment stetig sind, wird die Bogenlänge der Kurve mit der Formel berechnet
. (11)
Beispiel 15. Berechnen Sie die Bogenlänge der zwischen den Punkten eingeschlossenen Kurve 
.
Lösung. Aus den Problembedingungen, die wir haben 
. Mit Formel (11) erhalten wir:
.
4. Uneigentliche Integrale
mit unendlichen Integrationsgrenzen
Bei der Einführung des Konzepts eines bestimmten Integrals wurde davon ausgegangen, dass die folgenden zwei Bedingungen erfüllt waren:
a) Grenzen der Integration A und sind endlich;
b) Der Integrand ist auf das Intervall beschränkt.
Ist mindestens eine dieser Bedingungen nicht erfüllt, wird das Integral aufgerufen nicht dein eigenes.
Betrachten wir zunächst uneigentliche Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen.
Definition. Dann sei die Funktion im Intervall definiert und stetig und rechts unbegrenzt (Abb. 15).
Wenn das uneigentliche Integral konvergiert, ist dieser Bereich endlich; Wenn das uneigentliche Integral divergiert, ist dieser Bereich unendlich.
Reis. 15
Ein uneigentliches Integral mit einer unendlichen unteren Integrationsgrenze wird ähnlich definiert:
. (13)
Dieses Integral konvergiert, wenn der Grenzwert auf der rechten Seite der Gleichheit (13) existiert und endlich ist; andernfalls heißt das Integral divergent.
Ein uneigentliches Integral mit zwei unendlichen Integrationsgrenzen ist wie folgt definiert:
, (14)
wobei с ein beliebiger Punkt des Intervalls ist. Das Integral konvergiert nur, wenn beide Integrale auf der rechten Seite der Gleichung (14) konvergieren.
;G) 
= [wähle ein vollständiges Quadrat im Nenner: ] = 
[Ersatz:
] = 
Das bedeutet, dass das uneigentliche Integral konvergiert und sein Wert gleich ist.
Jedes bestimmte Integral (das existiert) hat eine sehr gute geometrische Bedeutung. Im Unterricht habe ich gesagt, dass ein bestimmtes Integral eine Zahl ist. Und jetzt ist es an der Zeit, eine weitere nützliche Tatsache anzuführen. Aus geometrischer Sicht ist das bestimmte Integral AREA.
Also, das bestimmte Integral (sofern vorhanden) entspricht geometrisch der Fläche einer bestimmten Figur. Betrachten Sie zum Beispiel das bestimmte Integral. Der Integrand definiert eine bestimmte Kurve in der Ebene (sie kann bei Bedarf immer gezeichnet werden), und das bestimmte Integral selbst ist numerisch gleich der Fläche des entsprechenden krummlinigen Trapezes.
Beispiel 1
Dies ist eine typische Zuweisungsanweisung. Der erste und wichtigste Punkt bei der Entscheidung ist die Erstellung einer Zeichnung. Darüber hinaus muss die Zeichnung erstellt werden RECHTS.
Beim Erstellen einer Zeichnung empfehle ich folgende Reihenfolge: anfangs es ist besser, nur alle geraden Linien (falls vorhanden) zu konstruieren Dann– Parabeln, Hyperbeln, Graphen anderer Funktionen. Es ist rentabler, Funktionsgraphen zu erstellen Punkt für Punkt Die Punkt-für-Punkt-Konstruktionstechnik finden Sie im Referenzmaterial.
Dort finden Sie auch sehr nützliches Material für unsere Lektion – wie man schnell eine Parabel baut.
Bei diesem Problem könnte die Lösung so aussehen.
Lassen Sie uns die Zeichnung zeichnen (beachten Sie, dass die Gleichung die Achse definiert):
Ich werde das gebogene Trapez nicht schattieren; es ist hier klar, um welchen Bereich es sich handelt. Die Lösung geht so weiter:
Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion oberhalb der Achse, Deshalb:
Antwort:
Wer Schwierigkeiten mit der Berechnung des bestimmten Integrals und der Anwendung der Newton-Leibniz-Formel hat, der sei auf die Vorlesung verwiesen Bestimmtes Integral. Beispiele für Lösungen.
Nach Abschluss der Aufgabe ist es immer hilfreich, sich die Zeichnung anzusehen und herauszufinden, ob die Antwort echt ist. In diesem Fall zählen wir die Anzahl der Zellen in der Zeichnung „nach Augenmaß“ – nun, es werden ungefähr 9 sein, das scheint wahr zu sein. Es ist absolut klar: Wenn wir beispielsweise die Antwort bekommen: 20 Quadrateinheiten, dann ist es offensichtlich, dass irgendwo ein Fehler gemacht wurde – 20 Zellen passen offensichtlich nicht in die betreffende Zahl, höchstens ein Dutzend. Ist die Antwort negativ, wurde die Aufgabe ebenfalls falsch gelöst.
Beispiel 2
Berechnen Sie die Fläche einer Figur, die durch die Linien , und die Achse begrenzt wird
Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.
Was tun, wenn das gebogene Trapez lokalisiert ist? unter der Achse?
Beispiel 3
Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch Linien und Koordinatenachsen begrenzt wird.
Lösung: Machen wir eine Zeichnung:
Wenn ein gebogenes Trapez vollständig unter der Achse gelegen, dann kann seine Fläche mit der Formel ermittelt werden:
In diesem Fall:
Aufmerksamkeit! Die beiden Arten von Aufgaben sollten nicht verwechselt werden:
1) Wenn Sie aufgefordert werden, einfach ein bestimmtes Integral ohne geometrische Bedeutung zu lösen, kann es negativ sein.
2) Wenn Sie aufgefordert werden, die Fläche einer Figur mithilfe eines bestimmten Integrals zu ermitteln, ist die Fläche immer positiv! Aus diesem Grund erscheint in der gerade besprochenen Formel das Minus.
In der Praxis befindet sich die Figur meist sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene, und daher gehen wir von den einfachsten Schulaufgaben zu aussagekräftigeren Beispielen über.
Beispiel 4
Finden Sie die Fläche einer ebenen Figur, die durch die Linien , begrenzt wird.
Lösung: Zuerst müssen Sie eine Zeichnung erstellen. Im Allgemeinen interessieren uns beim Erstellen einer Zeichnung bei Flächenproblemen vor allem die Schnittpunkte der Linien. Finden wir die Schnittpunkte der Parabel und der Geraden. Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Die erste Methode ist analytisch. Wir lösen die Gleichung:
Dies bedeutet, dass die untere Integrationsgrenze , die obere Integrationsgrenze ist .
Es ist besser, wenn möglich, diese Methode nicht zu verwenden.
Es ist viel profitabler und schneller, Linien Punkt für Punkt zu konstruieren, und die Grenzen der Integration werden „von selbst“ deutlich. Die Punkt-für-Punkt-Konstruktionstechnik für verschiedene Diagramme wird in der Hilfe ausführlich erläutert Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen. Dennoch muss manchmal noch auf die analytische Methode zur Bestimmung von Grenzen zurückgegriffen werden, wenn beispielsweise der Graph groß genug ist oder die detaillierte Konstruktion die Grenzen der Integration nicht erkennen lässt (sie können gebrochen oder irrational sein). Und wir werden auch ein solches Beispiel betrachten.
Kehren wir zu unserer Aufgabe zurück: Es ist rationaler, zuerst eine Gerade und erst dann eine Parabel zu konstruieren. Machen wir die Zeichnung:
Ich wiederhole, dass beim punktweisen Konstruieren die Grenzen der Integration meistens „automatisch“ ermittelt werden.
Und nun die Arbeitsformel: Wenn es auf einem Segment eine stetige Funktion gibt größer als oder gleich wie eine stetige Funktion, dann kann die Fläche der entsprechenden Figur mit der Formel ermittelt werden:
Hier müssen Sie nicht mehr darüber nachdenken, wo sich die Figur befindet – über der Achse oder unter der Achse, und grob gesagt Es ist wichtig, welcher Graph HÖHER ist(relativ zu einem anderen Diagramm), und welches ist UNTEN.
Im betrachteten Beispiel ist es offensichtlich, dass sich die Parabel auf dem Segment über der Geraden befindet und daher von ihr subtrahiert werden muss
Die fertige Lösung könnte so aussehen:
Die gewünschte Figur wird oben durch eine Parabel und unten durch eine Gerade begrenzt.
Antwort:
Tatsächlich ist die Schulformel für die Fläche eines krummlinigen Trapezes in der unteren Halbebene (siehe einfaches Beispiel Nr. 3) ein Sonderfall der Formel. Da die Achse durch die Gleichung angegeben wird und der Graph der Funktion unterhalb der Achse liegt, dann
Und nun ein paar Beispiele für Ihre eigene Lösung
Beispiel 5
Beispiel 6
Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , begrenzt wird.
Beim Lösen von Problemen, bei denen es um die Flächenberechnung mithilfe eines bestimmten Integrals geht, kommt es manchmal zu einem lustigen Vorfall. Die Zeichnung war korrekt, die Berechnungen waren korrekt, aber aus Unachtsamkeit... Der Bereich der falschen Figur wurde gefunden, genau das hat Ihr bescheidener Diener mehrmals vermasselt. Hier ist ein Fall aus dem wirklichen Leben:
Beispiel 7
Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , , begrenzt wird.
Machen wir zunächst eine Zeichnung:
Die Figur, deren Fläche wir finden müssen, ist blau schattiert(Schauen Sie sich den Zustand genau an – wie limitiert die Figur ist!). Doch in der Praxis kommt es oft aus Unaufmerksamkeit dazu, dass man den Bereich einer Figur finden muss, der grün schattiert ist!
Dieses Beispiel ist auch insofern nützlich, als es die Fläche einer Figur anhand zweier bestimmter Integrale berechnet. Wirklich:
1) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein Diagramm einer geraden Linie;
2) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein Graph einer Hyperbel.
Es liegt auf der Hand, dass die Bereiche hinzugefügt werden können (und sollten), daher:
Antwort:
Beispiel 8
Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur.
Lassen Sie uns die Gleichungen in „schulischer“ Form darstellen und eine Punkt-für-Punkt-Zeichnung erstellen:
Aus der Zeichnung geht hervor, dass unsere Obergrenze „gut“ ist: .
Aber was ist die Untergrenze?! Es ist klar, dass dies keine ganze Zahl ist, aber was ist das? Kann sein ? Aber wo ist die Garantie dafür, dass die Zeichnung mit perfekter Genauigkeit erstellt wurde? Es kann durchaus sein, dass ... Oder die Wurzel. Was wäre, wenn wir das Diagramm falsch erstellt hätten?
In solchen Fällen muss man zusätzliche Zeit aufwenden und die Grenzen der Integration analytisch klären.
Finden wir die Schnittpunkte einer Geraden und einer Parabel.
Dazu lösen wir die Gleichung:
Somit, .
Die weitere Lösung ist trivial, Hauptsache, man darf sich nicht in Ersetzungen und Zeichen verwirren, die Berechnungen sind hier nicht die einfachsten.
Auf dem Segment gemäß der entsprechenden Formel:
Schauen wir uns zum Abschluss der Lektion zwei weitere schwierige Aufgaben an.
Beispiel 9
Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , begrenzt wird
Lösung: Lassen Sie uns diese Figur in der Zeichnung darstellen.
Um eine Punkt-für-Punkt-Zeichnung zu erstellen, müssen Sie das Aussehen einer Sinuskurve kennen (und im Allgemeinen ist es nützlich, dies zu wissen). Graphen aller Elementarfunktionen) sowie einige Sinuswerte sind in zu finden trigonometrische Tabelle. In manchen Fällen (wie in diesem Fall) ist es möglich, eine schematische Zeichnung zu erstellen, auf der die Graphen und Integrationsgrenzen grundsätzlich korrekt dargestellt werden sollten.
Mit den Integrationsgrenzen gibt es hier keine Probleme, sie ergeben sich direkt aus der Bedingung: „x“ ändert sich von Null auf „pi“. Treffen wir eine weitere Entscheidung:
Auf dem Segment befindet sich der Funktionsgraph über der Achse, daher:
(1) In der Lektion können Sie sehen, wie Sinus und Cosinus in ungeraden Potenzen integriert werden Integrale trigonometrischer Funktionen. Dies ist eine typische Technik, bei der wir eine Nebenhöhle abklemmen.
(2) Wir verwenden die trigonometrische Hauptidentität in der Form
(3) Ändern wir die Variable, dann:
Neue Integrationsbereiche:
Wer wirklich schlecht mit Auswechslungen umgehen kann, sollte sich bitte eine Lektion holen. Substitutionsmethode im unbestimmten Integral. Für diejenigen, die den Ersetzungsalgorithmus in einem bestimmten Integral nicht ganz verstehen, besuchen Sie die Seite Bestimmtes Integral. Beispiele für Lösungen. Beispiel 5: Lösung: , also:
Antwort:
Notiz: Beachten Sie, wie das Integral des kubischen Tangens gebildet wird; hier wird eine Folgerung der grundlegenden trigonometrischen Identität verwendet.
Beispiel 1 . Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 und x = 2
Konstruieren wir eine Figur (siehe Abbildung). Wir konstruieren eine Gerade x + 2y – 4 = 0 aus zwei Punkten A(4;0) und B(0;2). Wenn wir y durch x ausdrücken, erhalten wir y = -0,5x + 2. Mit Formel (1), wobei f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, finden wir
S = = [-0,25=11,25 qm. Einheiten
Beispiel 2. Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 und y = 0.
Lösung. Konstruieren wir die Figur.
Konstruieren wir eine Gerade x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Konstruieren wir eine Gerade x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Finden wir den Schnittpunkt der Geraden, indem wir das Gleichungssystem lösen:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Um die erforderliche Fläche zu berechnen, teilen wir das Dreieck AMC in zwei Dreiecke AMN und NMC auf, da die Fläche beim Wechsel von x von A nach N durch eine Gerade und beim Wechsel von x von N nach C durch eine Gerade begrenzt wird
Für das Dreieck AMN gilt: ; y = 0,5x + 2, d. h. f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.
Für das Dreieck NMC gilt: y = - x + 5, d. h. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Indem wir die Fläche jedes Dreiecks berechnen und die Ergebnisse addieren, finden wir:
Quadrat. Einheiten
Quadrat. Einheiten
9 + 4, 5 = 13,5 qm. Einheiten Prüfen: = 0,5AC = 0,5 qm. Einheiten
Beispiel 3. Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
In diesem Fall müssen Sie die Fläche eines gekrümmten Trapezes berechnen, das durch die Parabel y = x begrenzt wird 2 , Geraden x = 2 und x = 3 und die Ox-Achse (siehe Abbildung) Mit Formel (1) ermitteln wir die Fläche des krummlinigen Trapezes
== 6 qm Einheiten
Beispiel 4. Berechnen Sie die Fläche der durch die Linien begrenzten Figur: y = - x 2 + 4 und y = 0
Konstruieren wir die Figur. Die benötigte Fläche wird zwischen der Parabel y = - x eingeschlossen 2 + 4 und die Ox-Achse.
Finden wir die Schnittpunkte der Parabel mit der Ox-Achse. Unter der Annahme y = 0 finden wir x = Da diese Figur symmetrisch zur Oy-Achse ist, berechnen wir die Fläche der Figur rechts von der Oy-Achse und verdoppeln das erhaltene Ergebnis: = +4x]sq. Einheiten 2 = 2 qm. Einheiten
Beispiel 5. Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Hier müssen Sie die Fläche eines krummlinigen Trapezes berechnen, das durch den oberen Ast der Parabel begrenzt wird 2 = x, Ox-Achse und Geraden x = 1 und x = 4 (siehe Abbildung)
Nach Formel (1), mit f(x) = a = 1 und b = 4, haben wir = (= Quadrateinheiten.
Beispiel 6 . Berechnen Sie die Fläche der durch die Linien begrenzten Figur: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Die benötigte Fläche wird durch die Halbwelle der Sinuskurve und die Ox-Achse begrenzt (siehe Abbildung).
Wir haben - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 Quadrat. Einheiten
Beispiel 7. Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird: y = - 6x, y = 0 und x = 4.
Die Figur befindet sich unter der Ox-Achse (siehe Abbildung).
Daher ermitteln wir seine Fläche mithilfe der Formel (3)
= =
Beispiel 8. Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird: y = und x = 2. Konstruieren Sie die y =-Kurve aus den Punkten (siehe Abbildung). Somit ermitteln wir die Fläche der Figur mit Formel (4)
Beispiel 9 .
X 2 + J 2 = r 2 .
Hier müssen Sie die vom Kreis x umschlossene Fläche berechnen 2 + J 2 = r 2 , also die Fläche eines Kreises mit dem Radius r, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Finden wir den vierten Teil dieses Bereichs, indem wir die Integrationsgrenzen von 0 an nehmen
Vor; wir haben: 1 = = [
Somit, 1 =
Beispiel 10. Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur: y= x 2 und y = 2x
Diese Zahl wird durch die Parabel y = x begrenzt 2 und die Gerade y = 2x (siehe Abbildung) Um die Schnittpunkte der gegebenen Geraden zu bestimmen, lösen wir das Gleichungssystem: x 2 – 2x = 0 x = 0 und x = 2
Wenn wir Formel (5) verwenden, um die Fläche zu ermitteln, erhalten wir
= }