Çdo paralelipiped. Parallelepiped drejtkëndor – Hipermarketi i njohurive

Ekzistojnë disa lloje të paralelepipedëve:

· Paralelepiped drejtkëndëshe- është një paralelipiped, të gjitha fytyrat e të cilit janë - drejtkëndëshat;

· Parallelepiped i drejtë është paralelipiped që ka 4 faqe anësore - paralelograme;

· Një paralelipiped i prirur është një paralelipiped, faqet anësore të të cilit nuk janë pingul me bazat.

Elementet thelbësore

Dy faqet e një paralelipipedi që nuk kanë një skaj të përbashkët quhen përballë, dhe ato që kanë një skaj të përbashkët quhen fqinjë. Dy kulme të një paralelepipedi që nuk i përkasin të njëjtës faqe quhen të kundërta. Segmenti i linjës, lidhja e kulmeve të kundërta quhet diagonalisht paralelipiped. Quhen gjatësitë e tre skajeve të një paralelipipedi drejtkëndor që ka një kulm të përbashkët matjet.

Vetitë

· Parallelepipedi është simetrik rreth mesit të diagonales së tij.

· Çdo segment me skaje që i përkasin sipërfaqes së paralelepipedit dhe që kalon nga mesi i diagonales së tij, ndahet përgjysmë prej tij; në veçanti, të gjitha diagonalet e një paralelepipedi priten në një pikë dhe përgjysmohen prej saj.

· Faqet e kundërta të një paralelipipedi janë paralele dhe të barabarta.

· Katrori i gjatësisë diagonale të një paralelipipedi drejtkëndor është i barabartë me shumën e katrorëve të tre dimensioneve të tij

Formulat bazë

Paralelepiped djathtas

· Sipërfaqja anësore S b =P o *h, ku P o është perimetri i bazës, h është lartësia

· Sipërfaqja totale S p =S b +2S o, ku S o është zona bazë

· Vëllimi V=S o *h

Paralelepiped drejtkëndëshe

· Sipërfaqja anësore S b =2c(a+b), ku a, b janë anët e bazës, c është buza anësore e paralelopipedit drejtkëndor

· Sipërfaqja totale S p =2(ab+bc+ac)

· Vëllimi V=abc, ku a, b, c janë përmasat e një paralelipipedi drejtkëndor.

· Sipërfaqja anësore S=6*h 2, ku h është lartësia e skajit të kubit

34. Tetrahedron- shumëkëndësh i rregullt, ka 4 faqet që janë trekëndësha të rregullt. Kulmet e një katërkëndëshi 4 , konvergon në çdo kulm 3 brinjë, dhe brinjë totale 6 . Gjithashtu, një tetrahedron është një piramidë.

Trekëndëshat që përbëjnë një katërkëndësh quhen fytyrat (AOS, OSV, ACB, AOB), anët e tyre --- brinjë (AO, OC, OB), dhe kulmet --- kulmet (A, B, C, O) katërkëndësh. Quhen dy skaje të katërkëndëshit që nuk kanë kulme të përbashkëta e kundërt... Ndonjëherë njëra nga fytyrat e tetraedrit izolohet dhe thirret bazë dhe tre të tjerat --- fytyrat anësore.

Tetraedri quhet e saktë, nëse të gjitha faqet e tij janë trekëndësha barabrinjës. Për më tepër, një tetraedron i rregullt dhe një piramidë e rregullt trekëndore nuk janë e njëjta gjë.

U tetraedron i rregullt të gjithë këndet dykëndësh në skajet dhe të gjithë këndet trekëndësh në kulmet janë të barabarta.

35. Prizma e saktë

Një prizëm është një shumëfaqësh, dy faqet (bazat) e të cilit shtrihen në plane paralele, dhe të gjitha skajet jashtë këtyre faqeve janë paralele me njëra-tjetrën. Fytyrat e tjera përveç bazave quhen faqe anësore, dhe skajet e tyre quhen skaje anësore. Të gjitha skajet anësore janë të barabarta me njëra-tjetrën si segmente paralele të kufizuara nga dy rrafshe paralele. Të gjitha faqet anësore të prizmit janë paralelograme. Brinjët përkatëse të bazave të prizmit janë të barabarta dhe paralele. Prizma, skaji anësor i të cilit është pingul me rrafshin e bazës, quhet prizëm i drejtë. Në bazën e një prizmi të rregullt është një shumëkëndësh i rregullt. Të gjitha faqet e një prizmi të tillë janë drejtkëndësha të barabartë.

Sipërfaqja e prizmit përbëhet nga dy baza dhe një sipërfaqe anësore. Lartësia e një prizmi është një segment që është pingul i përbashkët me rrafshet në të cilat shtrihen bazat e prizmit. Lartësia e prizmit është distanca H ndërmjet rrafsheve të bazave.

Sipërfaqja anësore S b e një prizmi është shuma e sipërfaqeve të faqeve të saj anësore. Sipërfaqja totale S n e një prizmi është shuma e sipërfaqeve të të gjitha faqeve të tij. S n = S b + 2 S, Ku S- zona e bazës së prizmit, S b – sipërfaqja anësore.

36. Një shumëfaqësh me një fytyrë, i quajtur bazë, - shumëkëndësh,
dhe faqet e tjera janë trekëndësha me një kulm të përbashkët, të quajtur piramidale .

Fytyrat e tjera përveç bazës quhen anësore.
Kulmi i përbashkët i faqeve anësore quhet maja e piramidës.
Skajet që lidhin majën e piramidës me kulmet e bazës quhen anësore.
Lartësia e piramidës quhet pingul i tërhequr nga maja e piramidës në bazën e saj.

Piramida quhet saktë, nëse baza e tij është një shumëkëndësh i rregullt dhe lartësia e tij kalon nga qendra e bazës.

Apotemë faqja anësore e një piramide të rregullt është lartësia e kësaj faqeje të tërhequr nga kulmi i piramidës.

Një rrafsh paralel me bazën e piramidës e pret atë në një piramidë të ngjashme dhe piramidë e cunguar.

Vetitë e piramidave të rregullta

• Skajet anësore të një piramide të rregullt janë të barabarta.
• Faqet anësore të një piramide të rregullt janë trekëndësha dykëndësh të barabartë me njëri-tjetrin.

Nëse të gjitha skajet anësore janë të barabarta, atëherë

·lartësia është projektuar në qendër të rrethit të rrethuar;

Brinjët anësore formojnë kënde të barabarta me rrafshin e bazës.

Nëse faqet anësore janë të prirura në rrafshin e bazës në të njëjtin kënd, atëherë

·lartësia është projektuar në qendër të rrethit të brendashkruar;

· lartësitë e faqeve anësore janë të barabarta;

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore është e barabartë me gjysmën e produktit të perimetrit të bazës dhe lartësisë së faqes anësore

37. Funksioni y=f(x), ku x i përket bashkësisë së numrave natyrorë, quhet funksion i një argumenti natyror ose i një sekuence numerike. Shënohet me y=f(n), ose (y n)

Sekuencat mund të specifikohen në mënyra të ndryshme, verbalisht, kështu specifikohet një sekuencë e numrave të thjeshtë:

2, 3, 5, 7, 11, etj.

Një sekuencë konsiderohet të jetë dhënë në mënyrë analitike nëse është dhënë formula për termin e saj të n-të:

1, 4, 9, 16, …, n 2, …

2) y n = C. Një sekuencë e tillë quhet konstante ose stacionare. Për shembull:

2, 2, 2, 2, …, 2, …

3) y n =2 n . Për shembull,

2, 2 2, 2 3, 2 4, …, 2 n, …

Një sekuencë quhet e kufizuar më lart nëse të gjithë termat e saj janë më së shumti një numër i caktuar. Me fjalë të tjera, një sekuencë mund të quhet e kufizuar nëse ka një numër M të tillë që pabarazia y n është më e vogël ose e barabartë me M. Numri M quhet kufiri i sipërm i sekuencës. Për shembull, sekuenca: -1, -4, -9, -16, ..., - n 2 ; kufizuar nga lart.

Në mënyrë të ngjashme, një sekuencë mund të quhet e kufizuar më poshtë nëse të gjithë termat e saj janë më të mëdhenj se një numër i caktuar. Nëse një sekuencë është e kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë quhet e kufizuar.

Një sekuencë quhet në rritje nëse çdo term pasues është më i madh se ai i mëparshmi.

Një sekuencë quhet zvogëluese nëse çdo anëtar pasues është më i vogël se ai i mëparshmi. Sekuencat në rritje dhe në rënie përcaktohen nga një term - sekuenca monotonike.

Konsideroni dy sekuenca:

1) y n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …

2) x n: 1, ½, 1/3, 1/ 4, …, 1/n, …

Nëse i paraqesim termat e kësaj sekuence në rreshtin numerik, do të vërejmë se në rastin e dytë termat e sekuencës janë të kondensuar rreth një pike, por në rastin e parë nuk është kështu. Në raste të tilla, sekuenca y n thuhet se ndryshon dhe sekuenca x n konvergjon.

Numri b quhet kufiri i sekuencës y n nëse ndonjë fqinjësi e parazgjedhur e pikës b përmban të gjithë anëtarët e vargut, duke filluar nga një numër i caktuar.

Në këtë rast mund të shkruajmë:

Nëse herësi i një progresion është më i vogël se një në modul, atëherë kufiri i kësaj sekuence, meqë x tenton në pafundësi, është i barabartë me zero.

Nëse sekuenca konvergon, atëherë vetëm në një kufi

Nëse sekuenca konvergon, atëherë ajo është e kufizuar.

Teorema e Weierstrass: Nëse një sekuencë konvergon në mënyrë monotone, atëherë ajo është e kufizuar.

Kufiri i një sekuence të palëvizshme është i barabartë me çdo term të sekuencës.

Vetitë:

1) Kufiri i shumës është i barabartë me shumën e limiteve

2) Kufiri i një produkti është i barabartë me produktin e kufijve

3) Kufiri i herësit është i barabartë me herësin e kufijve

4) Faktori konstant mund të merret përtej shenjës kufitare

Pyetja 38
shuma e progresionit të pafund gjeometrik

Progresioni gjeometrik- një sekuencë numrash b 1, b 2, b 3,.. (anëtarë të progresionit), në të cilin çdo numër pasues, duke filluar nga i dyti, merret nga ai i mëparshmi duke e shumëzuar me një numër të caktuar q (emëruesi e progresionit), ku b 1 ≠0, q ≠0.

Shuma e një progresion të pafund gjeometrikështë numri kufizues tek i cili konvergon sekuenca e progresionit.

Me fjalë të tjera, pavarësisht sa i gjatë është një progresion gjeometrik, shuma e termave të tij nuk është më shumë se një numër i caktuar dhe praktikisht është i barabartë me këtë numër. Kjo quhet shuma e një progresion gjeometrik.

Jo çdo progresion gjeometrik ka një shumë të tillë kufizuese. Mund të jetë vetëm për një progresion, emëruesi i të cilit është një numër thyesor më i vogël se 1.

Përkthyer nga greqishtja, paralelogram do të thotë aeroplan. Një paralelipiped është një prizëm me një paralelogram në bazën e tij. Ekzistojnë pesë lloje të paralelogramit: i zhdrejtë, i drejtë dhe kuboid. Kubi dhe rombohedroni gjithashtu i përkasin paralelipipedit dhe janë shumëllojshmëria e tij.

Para se të kalojmë te konceptet bazë, le të japim disa përkufizime:

• Diagonalja e një paralelipipedi është një segment që bashkon kulmet e paralelepipedit që janë përballë njëri-tjetrit.
• Nëse dy faqe kanë një skaj të përbashkët, atëherë mund t'i quajmë buzë ngjitur. Nëse nuk ka buzë të përbashkët, atëherë fytyrat quhen të kundërta.
• Dy kulme që nuk shtrihen në të njëjtën fytyrë quhen të kundërta.

Çfarë karakteristikash ka një paralelipiped?

1. Fytyrat e një paralelepipedi të shtrirë në anët e kundërta janë paralele me njëra-tjetrën dhe të barabarta me njëra-tjetrën.
2. Nëse vizatoni diagonale nga një kulm në tjetrin, atëherë pika e kryqëzimit të këtyre diagonaleve do t'i ndajë ato në gjysmë.
3. Anët e paralelopipedit që shtrihen në të njëjtin kënd me bazën do të jenë të barabarta. Me fjalë të tjera, këndet e anëve të bashkëdrejtuara do të jenë të barabarta me njëra-tjetrën.

Cilat lloje të paralelepipedëve ekzistojnë?

Tani le të kuptojmë se çfarë lloj paralelipipedësh ekzistojnë. Siç u përmend më lart, ekzistojnë disa lloje të kësaj figure: të drejtë, drejtkëndëshe, paralelipiped të prirur, si dhe kub dhe rombohedron. Si ndryshojnë nga njëri-tjetri? Gjithçka ka të bëjë me rrafshet që i formojnë dhe këndet që formojnë.

Le të shohim më në detaje secilin nga llojet e listuara të paralelepipedit.

• Siç është e qartë tashmë nga emri, një paralelipiped i prirur ka faqe të pjerrëta, përkatësisht ato faqe që nuk janë në një kënd prej 90 gradë në raport me bazën.
• Por për një paralelipiped të drejtë, këndi midis bazës dhe skajit është saktësisht nëntëdhjetë gradë. Është për këtë arsye që ky lloj paralelepipedi ka një emër të tillë.
• Nëse të gjitha fytyrat e paralelopipedit janë katrorë identikë, atëherë kjo shifër mund të konsiderohet një kub.
• Një paralelipiped drejtkëndor e mori këtë emër për shkak të planeve që e formojnë atë. Nëse të gjithë janë drejtkëndësha (përfshirë bazën), atëherë ky është një kuboid. Ky lloj paralelipipedi nuk gjendet shumë shpesh. Përkthyer nga greqishtja, rombohedron do të thotë fytyrë ose bazë. Ky është emri që i është dhënë një figure tredimensionale, fytyrat e së cilës janë rombe.

Formulat themelore për një paralelipiped

Vëllimi i një paralelipipedi është i barabartë me produktin e sipërfaqes së bazës dhe lartësinë e tij pingul me bazën.

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore do të jetë e barabartë me produktin e perimetrit të bazës dhe lartësisë.
Duke ditur përkufizimet dhe formulat bazë, mund të llogarisni sipërfaqen dhe vëllimin bazë. Baza mund të zgjidhet sipas gjykimit tuaj. Sidoqoftë, si rregull, një drejtkëndësh përdoret si bazë.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim tek pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

ose (në mënyrë ekuivalente) një shumëfaqësh me gjashtë faqe që janë paralelograme. Gjashtëkëndësh.

Paralelogramet që përbëjnë një paralelopiped janë skajet të këtij paralelopipedi, brinjët e këtyre paralelogrameve janë skajet e një paralelipipedi, dhe kulmet e paralelogrameve janë majat paralelipiped. Në një paralelipiped, çdo fytyrë është paralelogrami.

Si rregull, çdo 2 fytyra të kundërta identifikohen dhe thirren bazat e paralelepipedit, dhe fytyrat e mbetura - faqet anësore të paralelepipedit. Skajet e paralelepipedit që nuk i përkasin bazave janë brinjë anësore.

Janë 2 faqe të një paralelipipedi që kanë një skaj të përbashkët ngjitur, dhe ato që nuk kanë skaj të përbashkët - e kundërt.

Një segment që lidh 2 kulme që nuk i përkasin faqes së parë është diagonale paralelipiped.

Gjatësitë e skajeve të një paralelepipedi drejtkëndor që nuk janë paralele janë dimensionet lineare (matjet) paralelipiped. Një paralelipiped drejtkëndor ka 3 dimensione lineare.

Llojet e paralelepipedit.

Ekzistojnë disa lloje të paralelepipedëve:

Direktështë një paralelipiped me buzë pingul me rrafshin e bazës.

Një paralelipiped drejtkëndor në të cilin të tre dimensionet janë të barabarta është kubik. Secila nga faqet e kubit është e barabartë katrore .

Çdo paralelipiped. Vëllimi dhe raportet në një paralelipiped të prirur përcaktohen kryesisht duke përdorur algjebër vektoriale. Vëllimi i një paralelepipedi është i barabartë me vlerën absolute të produktit të përzier të 3 vektorëve, të cilët përcaktohen nga 3 anët e paralelepipedit (që burojnë nga e njëjta kulm). Lidhja ndërmjet gjatësive të brinjëve të paralelepipedit dhe këndeve ndërmjet tyre tregon pohimin se përcaktorja Gram e 3 vektorëve të dhënë është e barabartë me katrorin e prodhimit të tyre të përzier.

Vetitë e një paralelepipedi.

• Paralelepipedi është simetrik rreth mesit të diagonales së tij.
• Çdo segment me skaje që i përkasin sipërfaqes së një paralelepipedi dhe që kalon nga mesi i diagonales së tij ndahet prej tij në dy pjesë të barabarta. Të gjitha diagonalet e paralelepipedit kryqëzohen në pikën e parë dhe ndahen prej saj në dy pjesë të barabarta.
• Faqet e kundërta të paralelopipedit janë paralele dhe kanë përmasa të barabarta.
• Katrori i gjatësisë së diagonales së një paralelipipedi drejtkëndor është i barabartë me

Një paralelipiped është një prizëm, bazat e të cilit janë paralelograme. Në këtë rast, të gjitha skajet do të jenë paralelogramet.
Çdo paralelipiped mund të konsiderohet si një prizëm në tre mënyra të ndryshme, pasi çdo dy faqe të kundërta mund të merren si baza (në figurën 5, faqet ABCD dhe A"B"C"D", ose ABA"B" dhe CDC"D" , ose BCB "C" dhe ADA"D").
Trupi në fjalë ka dymbëdhjetë skaje, katër të barabarta dhe paralele me njëra-tjetrën.
Teorema 3 . Diagonalet e një paralelipipedi kryqëzohen në një pikë, duke përputhur me mesin e secilës prej tyre.
ABCDA"B"C"D" paralelipiped" (Fig. 5) ka katër diagonale AC", BD", CA", DB". Duhet të vërtetojmë se mesi i çdo dy prej tyre, për shembull AC dhe BD", përkojnë. Kjo rrjedh nga fakti se figura ABC"D", që ka brinjë të barabarta dhe paralele AB dhe C"D", është paralelogram.
Përkufizimi 7 . Një paralelipiped i drejtë është një paralelipiped që është gjithashtu një prizëm i drejtë, domethënë një paralelipiped, skajet anësore të të cilit janë pingul me rrafshin e bazës.
Përkufizimi 8 . Një paralelipiped drejtkëndor është një paralelipiped i drejtë, baza e të cilit është një drejtkëndësh. Në këtë rast, të gjitha fytyrat e tij do të jenë drejtkëndëshe.
Një paralelipiped drejtkëndor është një prizëm i drejtë, pavarësisht se cilën nga faqet e tij marrim si bazë, pasi secila nga skajet e tij është pingul me skajet që dalin nga i njëjti kulm dhe, për rrjedhojë, do të jetë pingul me rrafshet e faqeve të përcaktuara. nga këto skaje. Në të kundërt, një paralelipiped i drejtë, por jo drejtkëndor, mund të shihet si një prizëm i drejtë vetëm në një mënyrë.
Përkufizimi 9 . Gjatësitë e tre skajeve të një paralelepipedi drejtkëndor, nga të cilat asnjë nuk është paralel me njëri-tjetrin (për shembull, tre skajet që dalin nga e njëjta kulm), quhen dimensione të tij. Dy paralelopipedë drejtkëndëshe me dimensione përkatësisht të barabarta janë padyshim të barabartë me njëri-tjetrin.
Përkufizimi 10 .Një kub është një paralelipiped drejtkëndor, të tre dimensionet e të cilit janë të barabarta me njëra-tjetrën, kështu që të gjitha faqet e tij janë katrore. Dy kube, skajet e të cilëve janë të barabartë janë të barabartë.
Përkufizimi 11 . Një paralelipiped i pjerrët në të cilin të gjitha skajet janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe këndet e të gjitha faqeve janë të barabarta ose plotësuese quhet rombohedron.
Të gjitha fytyrat e një romboedri janë rombe të barabartë. (Disa kristale me rëndësi të madhe kanë një formë romboedri, për shembull, kristalet spar të Islandës.) Në një rombohedron mund të gjeni një kulm (dhe madje edhe dy kulme të kundërta) të tilla që të gjithë këndet ngjitur me të të jenë të barabartë me njëri-tjetrin.
Teorema 4 . Diagonalet e një paralelepipedi drejtkëndor janë të barabarta me njëra-tjetrën. Katrori i diagonales është i barabartë me shumën e katrorëve të tre dimensioneve.
Në paralelepipedin drejtkëndor ABCDA"B"C"D" (Fig. 6), diagonalet AC" dhe BD" janë të barabarta, pasi katërkëndëshi ABC"D" është një drejtkëndësh (drejtëza AB është pingul me rrafshin ECB" C", në të cilën shtrihet BC").
Përveç kësaj, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 bazuar në teoremën rreth katrorit të hipotenuzës. Por bazuar në të njëjtën teoremë AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; prandaj ne kanë:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.