Derivat dhe antiderivativ i provimit. Antiderivativ i funksionit

në shtëpi

Sistemet e sigurisë

Përshëndetje miq! Në këtë artikull do të shqyrtojmë detyrat për antiderivativët. Këto detyra përfshihen në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë. Përkundër faktit se vetë seksionet - diferencimi dhe integrimi - janë mjaft të volitshëm në kursin e algjebrës dhe kërkojnë një qasje të përgjegjshme për të kuptuar, vetë detyrat, të cilat përfshihen në bankën e hapur të detyrave në matematikë dhe do të jenë jashtëzakonisht të thjeshta në Unifikuar. Provimi i Shtetit dhe mund të zgjidhet në një ose dy hapa.

Është e rëndësishme të kuptohet saktësisht thelbi i antiderivativit dhe, në veçanti, kuptimi gjeometrik i integralit. Le të shqyrtojmë shkurtimisht bazat teorike.

Kuptimi gjeometrik i integralit

Shkurtimisht për integralin mund të themi këtë: integrali është zona.

Përkufizim: Le të jepet një grafik i një funksioni pozitiv f të përcaktuar në segment në planin koordinativ. Një nëngraf (ose trapez lakor) është një figurë e kufizuar nga grafiku i një funksioni f, drejtëzat x = a dhe x = b dhe boshti x.

Përkufizim: Le të jepet një funksion pozitiv f, i përcaktuar në një segment të fundëm. Integrali i një funksioni f në një segment është zona e nëngrafit të tij.

Siç u tha tashmë F′(x) = f (x).Çfarë mund të konkludojmë?

Është e thjeshtë. Duhet të përcaktojmë se sa pika ka në këtë grafik në të cilat F′(x) = 0. Dimë se në ato pika ku tangjentja me grafikun e funksionit është paralele me boshtin x. Le t'i tregojmë këto pika në intervalin [–2;4]:

Këto janë pikat ekstreme të një funksioni të caktuar F (x). Janë dhjetë prej tyre.

Përgjigje: 10

323078. Në figurë është paraqitur grafiku i një funksioni të caktuar y = f (x) (dy rreze me një pikënisje të përbashkët). Duke përdorur figurën, llogaritni F (8) – F (2), ku F (x) është një nga antiderivativët e funksionit f (x).

Le të shkruajmë përsëri teoremën e Njuton-Leibniz:Le të jetë f një funksion i dhënë, F antiderivati i tij arbitrar. Pastaj

Dhe kjo, siç u tha tashmë, është zona e nëngrafit të funksionit.

Kështu, problemi zbret në gjetjen e zonës së trapezit (intervali nga 2 në 8):

Nuk është e vështirë të llogaritet sipas qelizave. Marrim 7. Shenja është pozitive, pasi figura ndodhet mbi boshtin x (ose në gjysmëplanin pozitiv të boshtit y).

Edhe në këtë rast, mund të thuhet kështu: ndryshimi në vlerat e antiderivave në pika është sipërfaqja e figurës.

Përgjigje: 7

323079. Figura tregon një grafik të një funksioni të caktuar y = f (x). Funksioni F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 është një nga antiderivativët e funksionit y= f (x). Gjeni zonën e figurës me hije.

Siç është thënë tashmë për kuptimin gjeometrik të integralit, kjo është zona e figurës e kufizuar nga grafiku i funksionit f (x), vijat e drejta x = a dhe x = b dhe boshti ox.

Teorema (Njuton-Leibniz):

Kështu, detyra zbret në llogaritjen e integralit të caktuar të një funksioni të caktuar në intervalin nga -11 në -9, ose me fjalë të tjera, duhet të gjejmë ndryshimin në vlerat e antiderivativëve të llogaritur në pikat e treguara:

Përgjigje: 6

323080. Figura tregon një grafik të disa funksioneve y = f (x).

Funksioni F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 është një nga antiderivativët e funksionit f (x). Gjeni zonën e figurës me hije.

Teorema (Njuton-Leibniz):

Problemi zbret në llogaritjen e integralit të caktuar të një funksioni të caktuar në intervalin nga –10 në –8:

Përgjigje: 4 Ju mund të shikoni .

Derivatet dhe rregullat e diferencimit janë gjithashtu në . Është e nevojshme t'i njohësh ato, jo vetëm për të zgjidhur detyra të tilla.

Ju gjithashtu mund të shikoni informacionin e ndihmës në faqen e internetit dhe.

Shikoni një video të shkurtër, ky është një fragment nga filmi "Ana e verbër". Mund të themi se ky është një film për edukimin, për mëshirën, për rëndësinë e takimeve gjoja “të rastësishme” në jetën tonë... Por këto fjalë nuk do të mjaftojnë, ju rekomandoj ta shikoni vetë filmin, e rekomandoj shumë.

Ju uroj suksese!

Përshëndetje, Alexander Krutitskikh

P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.

Funksioni F(x ) thirrur antiderivativ për funksion f(x) në një interval të caktuar, nëse për të gjithë x nga ky interval vlen barazia

F"(x ) = f(x ) .

Për shembull, funksioni F(x) = x 2 f(x ) = 2X , sepse

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Vetia kryesore e antiderivativit

Nëse F(x) - antiderivativ i një funksioni f(x) në një interval të caktuar, pastaj funksioni f(x) ka pafundësisht shumë antiderivativë, dhe të gjitha këto antiderivative mund të shkruhen në formë F(x) + C, Ku ME është një konstante arbitrare.

Për shembull.

Funksioni F(x) = x 2 + 1 është një antiderivativ i funksionit

f(x ) = 2X , sepse F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x);

funksionin F(x) = x 2 - 1 është një antiderivativ i funksionit

f(x ) = 2X , sepse F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ;

funksionin F(x) = x 2 - 3 është një antiderivativ i funksionit

f(x) = 2X , sepse F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x);

ndonjë funksion F(x) = x 2 + ME , Ku ME - një konstante arbitrare, dhe vetëm një funksion i tillë është një antiderivativ i funksionit f(x) = 2X . ◄

Rregullat për llogaritjen e antiderivativëve

Nëse F(x) - antiderivativ për f(x) , A G(x) - antiderivativ për g(x) , Kjo F(x) + G(x) - antiderivativ për f(x) + g(x) . Me fjale te tjera, antiderivati i shumës është i barabartë me shumën e antiderivativëve .
Nëse F(x) - antiderivativ për f(x) , Dhe k - konstante, atëherë k · F(x) - antiderivativ për k · f(x) . Me fjale te tjera, faktori konstant mund të nxirret nga shenja e derivatit .
Nëse F(x) - antiderivativ për f(x) , Dhe k,b- konstante, dhe k ≠ 0 , Kjo 1 / k F( k x+ b ) - antiderivativ për f(k x+ b) .

Integrali i pacaktuar

Integrali i pacaktuar nga funksioni f(x) quajtur shprehje F(x) + C, domethënë bashkësia e të gjithë antiderivativëve të një funksioni të caktuar f(x) . Integrali i pacaktuar shënohet si më poshtë:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- thërrasin ata funksion integrand ;

f(x)dx- thërrasin ata integrand ;

x - thërrasin ata variabli i integrimit ;

F(x) - një nga funksionet primitive f(x) ;

ME është një konstante arbitrare.

Për shembull, ∫ 2 x dx =X 2 + ME , ∫ cosx dx = mëkat X + ME e kështu me radhë. ◄

Fjala "integrale" vjen nga fjala latine numër i plotë , që do të thotë "restauruar". Duke marrë parasysh integralin e pacaktuar të 2 x, duket se e rivendosim funksionin X 2 , derivati i të cilit është i barabartë me 2 x. Rivendosja e një funksioni nga derivati i tij, ose, çfarë është e njëjtë, gjetja e një integrali të pacaktuar mbi një integrand të caktuar quhet integrimin këtë funksion. Integrimi është operacioni i kundërt i diferencimit Për të kontrolluar nëse integrimi është kryer në mënyrë korrekte, mjafton të diferencohet rezultati dhe të merret integrand.

Vetitë themelore të integralit të pacaktuar

Derivati i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin:

(∫ f(x)dx )" = f(x) .

Faktori konstant i integrandit mund të hiqet nga shenja integrale:

∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .

Integrali i shumës (diferencës) së funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e integraleve të këtyre funksioneve:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .

Nëse k,b- konstante, dhe k ≠ 0 , Kjo

∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .

Tabela e antiderivativëve dhe integraleve të pacaktuara

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
I.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln \|x\|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln \|x\|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln\|x+\sqrt(a^2+x^2)\|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln\|x+\sqrt(a^2+x^2)\|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \fillimi(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\n \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln \|\cos x\|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln \|\cos x\|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln \|\sin x\|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln \|\sin x\|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\n \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \djathtas) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\n \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \djathtas ) \end(vmatrix)+C $$
Zakonisht quhen integralet antiderivativ dhe të pacaktuar të dhënë në këtë tabelë antiderivatet tabelare Dhe integrale tavoline .

Integral i caktuar

Lëreni në mes [a; b] jepet një funksion i vazhdueshëm y = f(x) , Pastaj integrali i caktuar nga a në b funksione f(x) quhet rritja e antiderivativit F(x) ky funksion, pra

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Numrat a Dhe b thirren në përputhje me rrethanat më të ulëta Dhe krye kufijtë e integrimit.

Rregullat themelore për llogaritjen e integralit të caktuar

1. $\int_(a)^(a)f(x)dx=0$;

2. $\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx$;

3. $\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,$ ku k - konstante;

4. $\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx$;

5. $\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx$;

6. $\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx$, ku f(x) — edhe funksioni;

7. $\int_(-a)^(a)f(x)dx=0$, ku f(x) është një funksion tek.

Komentoni . Në të gjitha rastet, supozohet se integrandët janë të integrueshëm në intervale numerike, kufijtë e të cilave janë kufijtë e integrimit.

Kuptimi gjeometrik dhe fizik i integralit të caktuar

Kuptimi gjeometrik integral i caktuar	Kuptimi fizik integral i caktuar

Sheshi S trapezoid lakor (një figurë e kufizuar nga grafiku i një pozitivi të vazhdueshëm në interval [a; b] funksione f(x) , boshti kau dhe drejt x=a , x=b ) llogaritet me formulë $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Rrugë s, të cilin pika materiale e ka kapërcyer, duke lëvizur drejtvizor me një shpejtësi që ndryshon sipas ligjit v(t) , për një periudhë kohore a ; b] , pastaj zona e figurës e kufizuar nga grafikët e këtyre funksioneve dhe vijat e drejta x = a , x = b , llogaritet me formulë $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Për shembull. Le të llogarisim sipërfaqen e figurës së kufizuar me vija y = x 2 Dhe y= 2-x . Le të paraqesim skematikisht grafikët e këtyre funksioneve dhe të theksojmë me një ngjyrë të ndryshme figurën, zona e së cilës duhet të gjendet. Për të gjetur kufijtë e integrimit, zgjidhim ekuacionin: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)(2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\majtas (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \djathtas )\bigm\|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Vëllimi i një trupi revolucioni

Nëse një trup fitohet si rezultat i rrotullimit rreth një boshti kau trapezi lakor i kufizuar nga një grafik i vazhdueshëm dhe jo negativ në interval [a; b] funksione y = f(x) dhe drejt x = a Dhe x = b , atëherë quhet trupi i rrotullimit .

Vëllimi i një trupi rrotullues llogaritet me formulën

$$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$

Nëse një trup rrotullimi fitohet si rezultat i rrotullimit të një figure të kufizuar sipër dhe poshtë nga grafikët e funksioneve y = f(x) Dhe y = g(x) , në përputhje me rrethanat, atëherë

$$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$

Për shembull. Le të llogarisim vëllimin e një koni me rreze r dhe lartësia h .

Le ta pozicionojmë konin në një sistem koordinativ drejtkëndor në mënyrë që boshti i tij të përputhet me boshtin kau , dhe qendra e bazës ndodhej në origjinë. Rrotullimi i gjeneratorit AB përcakton një kon. Që nga ekuacioni AB

$$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$

$$y=r-\frac(rx)(h)$$

dhe për vëllimin e konit kemi

$$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\majtas (0-\frac(1)(3) \djathtas)=\frac(\pi r^2h)(3).$$

◄

Funksioni antiderivativ f(x) në mes (a; b) ky funksion quhet F(x), kjo barazi vlen për cilindo X nga një interval i caktuar.

Nëse marrim parasysh faktin se derivati i një konstante MEështë e barabartë me zero, atëherë barazia është e vërtetë. Pra funksioni f(x) ka shumë primitivë F(x)+C, për një konstante arbitrare ME, dhe këta antiderivativë ndryshojnë nga njëri-tjetri nga një vlerë konstante arbitrare.

Përkufizimi i një integrali të pacaktuar.

I gjithë grupi i funksioneve antiderivative f(x) quhet integral i pacaktuar i këtij funksioni dhe shënohet .

Shprehja quhet integrand, A f(x) – funksion integrand. Integrandi paraqet diferencialin e funksionit f(x).

Veprimi i gjetjes së një funksioni të panjohur duke pasur parasysh diferencialin e tij quhet i pasigurt integrimi, sepse rezultati i integrimit është më shumë se një funksion F(x), dhe grupi i primitivëve të tij F(x)+C.

Kuptimi gjeometrik i integralit të pacaktuar. Grafiku i antiderivativit D(x) quhet kurba integrale. Në sistemin e koordinatave x0y, grafikët e të gjithë antiderivativëve të një funksioni të caktuar paraqesin një familje kurbash që varen nga vlera e konstantës C dhe përftohen nga njëra-tjetra me një zhvendosje paralele përgjatë boshtit 0y. Për shembullin e diskutuar më sipër, kemi:

J 2 x^x = x2 + C.

Familja e antiderivativëve (x + C) interpretohet gjeometrikisht nga një grup parabolash.

Nëse keni nevojë të gjeni një nga një familje antiderivativësh, atëherë vendosen kushte shtesë që ju lejojnë të përcaktoni konstanten C. Zakonisht, për këtë qëllim, vendosen kushtet fillestare: kur argumenti x = x0, funksioni ka vlerën D. (x0) = y0.

Shembull. Kërkohet të gjendet se një nga antiderivativët e funksionit y = 2 x që merr vlerën 3 në x0 = 1.

Antiderivati i kërkuar: D(x) = x2 + 2.

Zgjidhje. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Vetitë themelore të integralit të pacaktuar

1. Derivati i integralit të pacaktuar është i barabartë me funksionin integrand:

2. Diferenciali i integralit të pacaktuar është i barabartë me shprehjen integrante:

3. Integrali i pacaktuar i diferencialit të një funksioni të caktuar është i barabartë me shumën e vetë këtij funksioni dhe një konstante arbitrare:

4. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja integrale:

5. Integrali i shumës (diferencës) është i barabartë me shumën (diferencën) e integraleve:

6. Prona është një kombinim i vetive 4 dhe 5:

7. Vetia e pandryshueshmërisë së integralit të pacaktuar:

Nëse , Kjo

8. Prona:

Nëse , Kjo

Në fakt, kjo veti është një rast i veçantë i integrimit duke përdorur metodën e ndryshimit të variablave, e cila diskutohet më në detaje në seksionin vijues.

Le të shohim një shembull:

3. Metoda e integrimit në të cilën një integral i dhënë reduktohet në një ose më shumë integrale tabelore me anë të shndërrimeve identike të integrantit (ose shprehjes) dhe aplikimit të vetive të integralit të pacaktuar, quhet integrimi i drejtpërdrejtë. Kur zvogëlohet ky integral në një tabelor, shpesh përdoren transformimet diferenciale të mëposhtme (operacioni " duke iu nënshtruar shenjës diferenciale»):

fare, f’(u)du = d(f(u)). Kjo (formula përdoret shumë shpesh gjatë llogaritjes së integraleve.

Gjeni integralin

Zgjidhje. Le të përdorim vetitë e integralit dhe ta zvogëlojmë këtë integral në disa tabela.

4. Integrimi me metodën e zëvendësimit.

Thelbi i metodës është që ne prezantojmë një ndryshore të re, shprehim integrandin përmes kësaj ndryshoreje dhe si rezultat arrijmë në një formë tabelare (ose më të thjeshtë) të integralit.

Shumë shpesh metoda e zëvendësimit vjen në shpëtim kur integrohen funksionet dhe funksionet trigonometrike me radikalet.

Shembull.

Gjeni integralin e pacaktuar .

Zgjidhje.

Le të prezantojmë një ndryshore të re. Le të shprehemi X përmes z:

Ne zëvendësojmë shprehjet që rezultojnë në integralin origjinal:

Nga tabela e antiderivativëve kemi .

Mbetet për t'u kthyer në variablin origjinal X:

Përgjigje:

$\DeclareMathOperator(\tg)(tg)$$\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)$$\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)$$\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) $

përmbajtja

Elementet e përmbajtjes

Derivati, tangjenti, antiderivativi, grafikët e funksioneve dhe derivatet.

Derivat Le të përcaktohet funksioni $f(x)$ në një fqinjësi të pikës $x_0$.

Derivati i funksionit $f$ në pikën $x_0$ i quajtur limit

$f"(x_0)=\lim_(x\shigjeta djathtas x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),$

nëse ky kufi ekziston.

Derivati i një funksioni në një pikë karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të këtij funksioni në një pikë të caktuar.

Tabela e derivateve

Funksioni	Derivat
$konst$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$n\cpika x^(n-1)$
$\dfrac(1)(x)$	$-\dfrac(1)(x^2)$
$\sqrt(x)$	$\dfrac(1)(2\sqrt(x))$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x\cdot \ln(a)$
$\n(x)$	$\dfrac(1)(x)$
$\log_a(x)$	$\dfrac(1)(x\n(a))$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tg x$	$\dfrac(1)(\cos^2 x)$
$\ctg x$	$-\dfrac(1)(\sin^2x)$

Rregullat e diferencimit$f$ dhe $g$ janë funksione në varësi të ndryshores $x$; $c$ është një numër.

2) $(c\cdot f)"=c\cdot f"$

3) $(f+g)"= f"+g"$

4) $(f\cdot g)"=f"g+g"f$

5) $\majtas(\dfrac(f)(g)\djathtas)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)$

6) $\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)$ - derivat i një funksioni kompleks

Kuptimi gjeometrik i derivatit Ekuacioni i një drejtëze- jo paralel me boshtin $Oy$ mund të shkruhet në formën $y=kx+b$. Koeficienti $k$ në këtë ekuacion quhet pjerrësia e një vije të drejtë. Është e barabartë me tangjenten këndi i prirjes këtë vijë të drejtë.

Këndi i drejtë- këndi ndërmjet drejtimit pozitiv të boshtit $Ox$ dhe kësaj vije të drejtë, i matur në drejtimin e këndeve pozitive (d.m.th., në drejtimin e rrotullimit më të vogël nga boshti $Ox$ në \ boshti (Oy\)).

Derivati i funksionit $f(x)$ në pikën $x_0$ është i barabartë me pjerrësinë e tangjentes me grafikun e funksionit në këtë pikë: $f"(x_0)=\tg\ alfa.$

Nëse $f"(x_0)=0$, atëherë tangjentja me grafikun e funksionit $f(x)$ në pikën $x_0$ është paralel me boshtin $Ox$.

Ekuacioni tangjent

Ekuacioni i tangjentes me grafikun e funksionit $f(x)$ në pikën $x_0$:

$y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)$

Monotonia e funksionit Nëse derivati i një funksioni është pozitiv në të gjitha pikat e intervalit, atëherë funksioni rritet në këtë interval.

Nëse derivati i një funksioni është negativ në të gjitha pikat e intervalit, atëherë funksioni zvogëlohet në këtë interval.

Pikat minimale, maksimale dhe të lakimit pozitive në negativ në këtë pikë, atëherë $x_0$ është pika maksimale e funksionit $f$.

Nëse funksioni $f$ është i vazhdueshëm në pikën $x_0$, dhe vlera e derivatit të këtij funksioni $f"$ ndryshon me negativ në pozitive në këtë pikë, atëherë $x_0$ është pika minimale e funksionit $f$.

Quhen pikat në të cilat derivati $f"$ është i barabartë me zero ose nuk ekziston pikat kritike funksionet $f$.

Pikat e brendshme të fushës së përcaktimit të funksionit $f(x)$, në të cilat $f"(x)=0$ mund të jenë pika minimale, maksimale ose inflektive.

Kuptimi fizik i derivatit Nëse një pikë materiale lëviz drejtvizore dhe koordinata e saj ndryshon në varësi të kohës sipas ligjit $x=x(t)$, atëherë shpejtësia e kësaj pike është e barabartë me derivatin e koordinatës në lidhje me kohën:

Nxitimi i një pike materiale është i barabartë me derivatin e shpejtësisë së kësaj pike në lidhje me kohën:

$a(t)=v"(t).$

51. Figura tregon një grafik y=f "(x)- derivat i një funksioni f (x), përcaktuar në intervalin (− 4; 6). Gjeni abshisën e pikës në të cilën tangjentja me grafikun e funksionit y=f(x) paralel me drejtëzën y=3x ose përkon me të.

Përgjigje: 5

52. Figura tregon një grafik y=F(x) f(x) f(x) pozitive?

Përgjigje: 7

53. Figura tregon një grafik y=F(x) një nga antiderivativët e disa funksioneve f(x) dhe tetë pika janë shënuar në boshtin x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Në sa prej këtyre pikave është funksioni f(x) negativ?

Përgjigje: 3

54. Figura tregon një grafik y=F(x) një nga antiderivativët e disa funksioneve f(x) dhe dhjetë pika janë shënuar në boshtin x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. Në sa prej këtyre pikave është funksioni f(x) pozitive?

Përgjigje: 6

55. Figura tregon një grafik y=F(x f (x), përcaktuar në intervalin (− 7; 5). Duke përdorur figurën, përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit f(x)=0 në segmentin [− 5; 2].

Përgjigje: 3

56. Figura tregon një grafik y=F(x) një nga antiderivatet e ndonjë funksioni f (x), përcaktuar në intervalin (− 8; 7). Duke përdorur figurën, përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit f(x)= 0 në intervalin [− 5; 5].

Përgjigje: 4

57. Figura tregon një grafik y=F(x) një nga antiderivatet e disa funksioneve f(x), e përcaktuar në intervalin (1;13). Duke përdorur figurën, përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit f (x)=0 në segmentin .

Përgjigje: 4

58. Në figurë është paraqitur grafiku i një funksioni të caktuar y=f(x)(dy rreze me një pikënisje të përbashkët). Duke përdorur figurën, llogaritni F(-1)-F(-8), Ku F(x) f(x).

Përgjigje: 20

59. Në figurë është paraqitur grafiku i një funksioni të caktuar y=f(x) (dy rreze me një pikënisje të përbashkët). Duke përdorur figurën, llogarisni F(-1)-F(-9), Ku F(x)- një nga funksionet primitive f(x).

Përgjigje: 24

60. Në figurë është paraqitur grafiku i një funksioni të caktuar y=f(x). Funksioni

-një nga funksionet primitive f(x). Gjeni zonën e figurës me hije.

Përgjigje: 6

61. Në figurë është paraqitur grafiku i një funksioni të caktuar y=f(x). Funksioni

Një nga funksionet primitive f(x). Gjeni zonën e figurës me hije.

Përgjigje: 14.5

paralel me tangjenten me grafikun e funksionit

Përgjigje: 0.5

Gjeni abshisën e pikës tangjente.

Përgjigje: -1

është tangjente me grafikun e funksionit

Gjej c.

Përgjigje: 20

është tangjente me grafikun e funksionit

Gjej a.

Përgjigje: 0.125

është tangjente me grafikun e funksionit

Gjej b, duke marrë parasysh se abshisa e pikës tangjente është më e madhe se 0.

Përgjigje: -33

67. Një pikë materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit

Ku x t- koha në sekonda, e matur nga momenti i fillimit të lëvizjes. Në cilën pikë kohore (në sekonda) ishte shpejtësia e tij e barabartë me 96 m/s?

Përgjigje: 18

68. Një pikë materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit

Ku x- distanca nga pika e referencës në metra, t- koha në sekonda, e matur nga momenti i fillimit të lëvizjes. Në cilën pikë kohore (në sekonda) ishte shpejtësia e tij 48 m/s?

Përgjigje: 9

69. Një pikë materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit

Ku x t t=6 Me.

Përgjigje: 20

70. Një pikë materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit

Ku x- distanca nga pika e referencës në metra, t- koha në sekonda e matur nga fillimi i lëvizjes. Gjeni shpejtësinë e tij (në m/s) në momentin e kohës t=3 Me.

Përgjigje: 59

Seksionet

Funksioni	Derivat
\(konst\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cpika x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\n(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\n(a))\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)