Пройденный путь. Перемещение

Раздел 1 МЕХАНИКА

Глава 1: О с н о в ы к и н е м а т и к и

Механическое движение. Траектория. Путь и перемещение. Сложение скоростей

Механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Механическое движение тел изучаетмеханика. Раздел механики, описывающий геометрические свойства движения без учёта масс тел и действующих сил, называется кинематикой .

Механическое движение относительно. Чтобы определить положение тела в пространстве, нужно знать его координаты. Для определения координат материальной точки следует, прежде всего, выбрать тело отсчёта и связать с ним систему координат.

Телом отсчёта называется тело, относительно которого определяется положение других тел. Тело отсчёта выбирают произвольно. Это может быть что угодно: Земля, здание, автомобиль, теплоход и т.д.

Система координат, тело отсчёта с которым она связана, и указание отсчёта времени образуют систему отсчёта , относительно которой рассматривается движение тела (рис.1.1).

Тело, размерами, формой и структурой которого можно пренебречь при изучении данного механического движения, называется материальной точкой . Материальной точкой можно считать тело, размеры которого намного меньше расстояний, характерных для рассматриваемого в задаче движения.

Траектория это линия, по которой движется тело.

В зависимости от вида траектории движения разделяются на прямолинейные и криволинейные

Путь – это длина траектории ℓ(м) (рис.1.2)

Вектор , проведенный из начального положения частицы в её конечное положение, называется перемещением этой частицыза данное время.

В отличие от пути, перемещение является не скалярной, а векторной величиной, так как оно показывает не только на какое расстояние, но и в каком направлении сместилось тело за данное время.

Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль перемещения не может быть больше пройденного пути. Например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по криволинейной траектории, то модуль вектора перемещения меньше пройденного пути ℓ. Путь и модуль перемещения оказываются равными лишь в одном единственном случае, когда тело движется по прямой.

Скорость – это векторная количественная характеристика движения тела

Средняя скорость – это физическая величина, равная отношению вектора перемещения точки к промежутку времени

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения.

Мгновенная скорость, то есть скорость в данный момент времени – это векторная физическая величина, равная пределу, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt.

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения (рис. 1.3).

В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду (м/с), то есть единицей скорости принято считать скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором за одну секунду тело проходит путь в один метр. Часто скорость измеряют в километрах в час.

или 1

Сложение скоростей

Любые механические явления рассматриваются в какой-либо системе отсчета: движение имеет смысл только относительно других тел. При анализе движения одного и того же тела в разных системах отсчета все кинематические характеристики движения (путь, траектория, перемещение, скорость, ускорение) оказываются различными.

Например, пассажирский поезд движется по железной дороге со скоростью 60км/ч. По вагону этого поезда идёт человек со скоростью 5км/ч. Если считать железную дорогу неподвижной и принять её за систему отсчёта, то скорость человека относительно железной дороги, будет равна сложению скоростей поезда и человека, то есть

60км/ч + 5 км/ч = 65 км/ч, если человек идёт в том же направлении что и поезд и

60км/ч - 5 км/ч = 55 км/ч, если человек идёт против направления движения поезда.

Однако это справедливо только в этом случае, если человек и поезд движутся по одной линии. Если же человек будет двигаться под углом, то необходимо учитывать этот угол, и тот факт, что скорость – это векторная величина.

Рассмотрим описанный выше пример более подробно – с деталями и картинками.

Итак, в нашем случае железная дорога это неподвижная система отсчёта. Поезд, который движется по этой дороге – это подвижная система отсчёта. Вагон, по которому идёт человек, является частью поезда. Скорость человека относительно вагона (относительно подвижной системы отсчёта) равна 5км/ч. Обозначим её буквой . Скорость поезда, (а значит и вагона) относительно неподвижной системы отсчёта (то есть относительно железной дороги) равна 60 км/ч. Обозначим её буквой . Другими словами, скорость поезда – это скорость подвижной системы отсчёта относительно неподвижной системы отсчёта.

Скорость человека относительно железной дороги (относительно неподвижной системы отсчёта) нам пока неизвестна. Обозначим её буквой .

Свяжем с неподвижной системой отсчёта (рис.1.4) систему координат ХОY, а с подвижной систему отсчёта – Х п О п Y п. Определим теперь скорость человека относительно неподвижной системы отсчёта, то есть относительно железной дороги.

За малый промежуток времени Δt происходят следующие события:

· Человек перемещается относительно вагона на расстояние

· Вагон перемещается относительно железной дороги на расстояние

Тогда за этот промежуток времени перемещение человека относительно железной дороги:

Это закон сложения перемещений . В нашем примере перемещение человека относительно железной дороги равно сумме перемещений человека относительно вагона и вагона относительно железной дороги.

Разделив обе части равенства на малый промежуток времени Dt, за которое произошло перемещение:

Получим:

Траектория - это линия, которую тело описывает при движении.

Траектория пчелы

Путь - это длина траектории. То есть длина той, возможно, кривой линии, по которой двигалось тело. Путь скалярная величина ! Перемещение - векторная величина ! Это вектор, который проведен из начальной точки отправления тела в конечную точку. Имеет численное значение, равное длине вектора. Путь и перемещение - это существенно разные физические величины.

Обозначения пути и перемещения вы можете встретить разное:

Сумма перемещений

Пусть в течение промежутка времени t 1 тело совершило перемещение s 1 , а в течение следующего промежутка времени t 2 - перемещение s 2 . Тогда за все время движения перемещение s 3 - это векторная сумма

Равномерное движение

Движение с постоянной по модулю и по направлению скоростью. Что это значит? Рассмотрим движение машины. Если она едет по прямой линии, на спидометре одно и то же значение скорости (модуль скорости), то это движение равномерное. Стоит машине изменить направление (повернуть), это будет означать, что вектор скорости изменил свое направление. Вектор скорости направлен туда же, куда едет машина. Такое движение нельзя считать равномерным, несмотря на то, что спидометр показывает одно и то же число.

Направление вектора скорости всегда совпадает с направлением движения тела

Можно ли движение на карусели считать равномерным (если не происходит ускорение или торможение)? Нельзя, постоянно изменяется направление движения, а значит и вектор скорости. Из рассуждений можно сделать вывод, что равномерное движение - это всегда движение по прямой линии! А значит при равномерном движении путь и перемещение одинаковы (поясни почему).

Нетрудно представить, что при равномерном движении за любые равные промежутки времени тело будет перемещаться на одинаковое расстояние.

Отдельные физические термины, смешанные с бытовыми представлениями о мире, выглядят очень похожими. В привычном понимании путь и перемещение – это одно и то же, только одно понятие описывает процесс, а второе – результат. Но если мы обратимся к энциклопедическим определениям, то станет понятно, насколько серьёзна разница между ними.

Определение

Путь – это движение, которое приводит к изменению места расположения объекта в пространстве. Это скалярная величина, не имеющая направления и обозначающая общее преодолённое расстояние. Путь может осуществляться по прямой, криволинейной траектории, по кругу или иным способом.

Перемещение – это вектор, обозначающий разницу между начальным и конечным местом расположения точки в пространстве после преодоления определённого пути. Векторная величина всегда положительна, а также обладает определённым направлением. Путь совпадает с перемещением только в том случае, если он осуществляется прямолинейно, а направление не изменяется.

Сравнение

Таким образом, путь – первичен, перемещение – вторично. Для первой величины имеет значение начало движения, вторая может обходиться без него. Главное отличие между указанными понятиями в том, что путь не имеет направления, а перемещение – имеет. Отсюда и другие особенности, характеризующие термины. Так, длина пути включает в себя всё расстояние, которое пройдено объектом за определённое время. Перемещение – векторная величина, характеризующая относительное изменение в пространстве.

Если предприниматель решил объехать четыре торговые точки, каждая из которых находится на расстоянии 10 километров друг от друга, а затем вернуться домой, то его путь составит 80 километров. Однако перемещение будет равно нулю, так как положение в пространстве по результатам следования не изменилось. Путь всегда положителен, так как говорить о нём можно лишь после того, как началось движение. Для данной величины имеет значение скорость, влияющая на общую дистанцию.

Выводы сайт

1. Тип. Путь – скалярная величина, перемещение – векторная.
2. Способ измерения. Путь исчисляется общим пройденным отрезком, перемещение – изменением места расположения объекта в пространстве.
3. Выражение. Перемещение может быть равно нулю (если движение осуществлялось по замкнутой траектории), а путь – нет.

Положение материальной точки определяется по отношению к какому-либо другому, произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета . С ним связывается система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета.

В декартовой системе координат положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами x, y и z или радиусом-вектором r – вектор, проведенный из начала системы координат в данную точку. При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются.r =r (t) или x=x(t), y=y(t), z=z(t) – кинематические уравнения материальной точки .

Основная задача механики – зная состояние системы в некоторый начальный момент времени t 0 , а также законы, управляющие движением, определить состояния системы во все последующие моменты времени t.

Траектория движения материальной точки – линия, описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение точки. Если траектория точки – плоская кривая, т.е. целиком лежит в одной плоскости, то движение точки называют плоским.

Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной пути Δs и является скалярной функцией времени: Δs=Δs(t). Единица измерения – метр (м)– длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/299792458 с.

IV . Векторный способ задания движения

Радиус-вектор r – вектор, проведенный из начала системы координат в данную точку. Вектор Δr =r -r 0 , проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени называется перемещением (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени).

Вектором средней скорости < v > называется отношение приращения Δ r радиуса-вектора точки к промежутку времени Δt: (1). Направление средней скорости совпадает с направлением Δr .При неограниченном уменьшении Δt средняя скорость стремиться к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью v . Мгновенная скорость это скорость тела в данный момент времени и в данной точке траектории: (2). Мгновенная скоростьv есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени.

Для характеристики быстроты изменения скорости v точки в механике вводится векторная физическая величина, называемая ускорением.

Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t+Δt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости Δv к интервалу времени Δt:

Мгновенным ускорением а материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:(4). Ускорениеа есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

V. Координатный способ задания движения

Положение точки М можно характеризовать радиус – вектором r или тремя координатами x, y и z: М(x,y,z). Радиус - вектор можно представить в виде суммы трех векторов, направленных вдоль осей координат: (5).

Из определения скорости (6). Сравнивая (5) и (6) имеем:(7). Учитывая (7) формулу (6) можно записать(8). Модуль скорости можно найти:(9).

Аналогично для вектора ускорения:

(10),

(11),

Естественный способ задания движения (описание движения с помощью параметров траектории)

Движение описывается формулой s=s(t). Каждая точка траектории характеризуется своим значением s. Радиус – вектор является функцией от s и траектория может быть задана уравнением r =r (s). Тогда r =r (t) можно представить как сложную функцию r . Продифференцируем (14). Величина Δs – расстояние между двумя точками вдоль траектории, |Δr | - расстояние между ними по прямой линии. По мере сближения точек разница уменьшается. , гдеτ – единичный вектор, касательный к траектории. , тогда (13) имеет видv =τ v (15). Следовательно скорость направлена по касательной к траектории.

Ускорение может быть направлено под любым углом к касательной к траектории движения. Из определению ускорения (16). Еслиτ - касательный к траектории, то - вектор перпендикулярный этой касательной, т.е. направлен по нормали. Единичный вектор, в направлении нормали обозначаетсяn . Значение вектора равно 1/R, где R – радиус кривизны траектории.

Точка, отстоящая от траектории на расстоянии и R в направлении нормали n , называется центром кривизны траектории. Тогда (17). Учитывая вышеизложенное формулу (16) можно записать:(18).

Полное ускорение состоит из двух взаимно перпендикулярных векторов: , направленного вдоль траектории движения и называемого тангенциальным, и ускорения, направленного перпендикулярно траектории по нормали, т.е. к центру кривизны траектории и называемого нормальным.

Абсолютное значение полного ускорения найдем: (19).

Лекция 2 Движение материальной точки по окружности. Угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение. Связь между линейными и угловыми кинематическими величинами. Векторы угловой скорости и ускорения.

План лекции

Кинематика вращательного движения

При вращательном движении мерой перемещения всего тела за малый промежуток времени dt служит векторdφ элементарного поворота тела. Элементарные повороты (обозначаются или) можно рассматривать какпсевдовекторы (как бы).

Угловое перемещение - векторная величина, модуль которой равен углу поворота, а направление совпадает с направлением поступа­тельного движения правого винта (направленный вдоль оси вращения так, что если смотреть с его конца, то вращение тела кажется происходящим против часовой стрелки). Единица углового перемещения – рад.

Быстроту изменения углового перемещения с течением времени характеризует угловая скорость ω . Угловая скорость твердого тела – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения углового перемещения тела с течением времени и равная угловому перемещению, совершаемому телом за единицу времени:

Направлен вектор ω вдоль оси вращения в ту же сторону, что и dφ (по правилу правого винта). Единица угловой скорости- рад/с

Быстроту изменения угловой скорости с течением времени характеризует угловое ускорение ε

(2).

Направлен вектор ε вдоль оси вращения в ту же сторону, что и dω, т.е. при ускоренном вращении , при замедленном.

Единица углового ускорения – рад/с 2 .

За время dt произвольная точка твердого тела А переместиться на dr , пройдя путь ds . Из рисунка видно, что dr равно векторному произведению углового перемещения dφ на радиус – вектор точки r : dr =[ dφ · r ] (3).

Линейная скорость точки связана с угловой скоростью и радиусом траектории соотношением:

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение: (4)

По определению векторного произведения его модуль равен , где - угол между векторами и, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Продифференцируем (4) по времени:

Учитывая, что - линейное ускорение,- угловое ускорение, а- линейная скорость, получим:

Первый вектор в правой части направлен по касательной к траектории точки. Он характеризует изменение модуля линейной скорости. Следовательно, этот вектор – касательное ускорение точки: a τ =[ ε · r ] (7). Модуль касательного ускорения равен a τ = ε · r . Второй вектор в (6) направлен к центру окружности и характеризует изменение направления линейной скорости. Этот вектор – нормальное ускорение точки:a n =[ ω · v ] (8). Модуль его равен a n =ω·v или учитывая, что v = ω· r , a n = ω 2 · r = v 2 / r (9).

Частные случаи вращательного движения

При равномерном вращении: , следовательно .

Равномерное вращение можно характеризовать периодом вращения Т - временем, за которое точка совершает один полный оборот,

Частота вращения - число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени: (11)

Единица частоты вращения - герц (Гц).

При равноускоренном вращательном движении :

Лекция 3 Первый закон Ньютона. Сила. Принцип независимости действующих сил. Результирующая сила. Масса. Второй закон ньютона. Импульс. Закон сохранения импульса. Третий закон Ньютона. Момент импульса материальной точки, момент силы, момент инерции.

План лекции

Первый закон Ньютона

Второй закон Ньютона

Третий закон Ньютона

Момент импульса материальной точки, момент силы, момент инерции

Первый закон Ньютона. Масса. Сила

Первый закон Ньютона: Существуют такие системы отсчета, относительно которых тела движутся прямолинейно и равномерно или покоятся, если на них не действуют силы или действие сил скомпенсировано.

Первый закон Ньютона выполняется только в инерциальной системе отсчёта и утверждает существование инерциальной системе отсчёта.

Инерция – это свойство тел стремиться сохранять скорость неизменной.

Инертностью называют свойство тел препятствовать изменению скорости под действием приложенной силы.

Масса тела – это физическая величина являющаяся количественной мерой инертности, это скалярная аддитивная величина. Аддитивность массы состоит в том, что масса системы тел всегда равна сумме масс каждого тела в отдельности. Масса – основная единица системы «СИ».

Одной из форм взаимодействия является механическое взаимодействие . Механическое взаимодействие вызывает деформацию тел, а также изменение их скорости.

Сила – это векторная величина являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел, или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры (деформируется). Сила характеризуется модулем, направлением действия, точкой приложения к телу.

Если брать во внимание физические процессы в бытовой сфере, то многие из них кажутся очень погожими. Поэтому понятия путь и перемещение воспринимаются как одно и то же, разница заключается только в том, что первое – это описание действия, а второе – это результат действия. Но если обратиться за уточнением к информационным источникам можно будет сразу же найти существенную разницу между данными операциями.

Что собой представляет путь?

Путь – это движение в результате, которого происходит изменение места расположения предмета или человека. Эта величина относится к скалярным, поэтому не имеет направления, но с её помощью можно определить пройденное расстояние.

Путь может выполняться следующими образами:

• По прямой линии.
• Криволинейно.
• По кругу.
• Возможны другие способы (например, зигзагообразная траектория).

Путь никогда не может быть отрицательным и убывать в течение времени. Измерение пути осуществляется в метрах. Чаще всего, в физике для обозначения пути используется буква S , в редких случаях используют букву L. С помощью пути нельзя предвидеть, где будет находиться нужный нам предмет в определённый момент времени.

Особенности перемещения

Перемещение – это разность между начальной и конечной точкой расположения человека или предмета в пространстве после того как был преодолён какой-то путь.

Значение перемещения всегда является положительным, а также имеет чёткое направление.

Совпадение между перемещением и путём возможно только в том случае если путь был осуществлён по прямой линии, а направление при этом не изменялось.

С помощью перемещения можно рассчитать, где находился человек или предмет в определённый этап времени.

Для обозначения перемещения используют букву S, но поскольку перемещение является векторной величиной то над данной буквой ставится стрелочка →, которая и указывает на то, что перемещение – это вектор. К сожалению, увеличивает путаницу между путём и перемещением ещё тот факт, что оба понятия также можно обозначить буквой L.

Что общего между понятиями путь и перемещение?

Несмотря на то что путь и перемещение – это абсолютно разные понятия существуют определённые элементы, которые способствуют тому, что понятия путают:

1. Путь и перемещение всегда могут быть только положительными величинами.
2. Для обозначения пути и перемещения может использоваться одна и та самая буква L.

Даже учитывая факт, что у этих понятий имеется только два общих элемента их значение настолько велико, что заставляет путаться многих людей. Особенно возникают проблемы у школьников во время изучения физики.

Основные отличия между понятиями путь и перемещение?

У данных понятий имеется ряд отличий, которые всегда помогут определить, какая величина находиться перед вами, путь или перемещение:

1. Путь – это первичное понятие, а перемещение вторичное. К примеру, перемещение определяет разницу между начальной и конечной точкой расположения человека в пространстве после преодоления какого-то пути. Соответственно, нельзя получить величину перемещения не использовав изначально путь.
2. Для пути играет огромную роль начало движения, а для определения перемещения начало движения абсолютно не нужно.
3. Основная разница между данными величинами заключается в том, что путь не имеет направления, а у перемещения оно имеется. К примеру, путь осуществляется только прямо – вперёд, а перемещение допускает и движение назад.
4. Кроме того, понятия отличаются по виду. Путь относится к скалярной величине, а перемещение к векторной.
5. Метод исчисления. К примеру, путь исчисляют с помощью общего пройденного отрезка, а перемещение, в свою очередь, исчисляется с помощью изменения места расположения объекта в пространстве.
6. Путь никогда не может быть равен нулю, а в перемещении допускается значение равное нулю.

Изучив эти отличия, можно сразу же понять в чём заключается разница между понятиями путь и перемещение, и уже больше никогда их не путать.

Разница между путём и перемещением на примерах

Для того чтобы быстрее понять разницу между путём и перемещением можно использовать определённые примеры:

1. Машиной было совершено движение на 2 метра вперёд и на 2 метра назад. Путь – это сумма всего пройденного расстояния, соответственно она составляет 4 метра. А перемещение – это начальная и конечная точка, поэтому в данном случае оно равно нулю.
2. К тому же разницу между путём и перемещением можно рассмотреть на собственном опыте. Необходимо встать на старт 400-метровой беговой дорожки и пробежать два круга (второй круг закончится в начальной точке). В результате получается, что путь составил 800 метров (400+400), а перемещение равно 0, поскольку начальная и конечная точки совпадают.
3. Брошенный вверх мячик достиг высоты в 15 метров, а затем упал на Землю. В данном случае путь будет равен 30 метров, поскольку плюсуются 15 метров вверх и 15 метров вниз. А перемещение будет равно 0, из-за того, что мячик вернулся в исходное положение.