Как находится высота в прямоугольном треугольнике. Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один из углов - прямой, то есть равен 90 градусам.

• Сторона, противолежащая прямому углу называется гипотенузой (на рисунке обозначена как c или AB)
• Сторона, прилежащая к прямому углу, называется катетом. Каждый прямоугольный треугольник имеет два катета (на рисунке обозначены как a и b или AC и BC)

Формулы и свойства прямоугольного треугольника

(см. рисунок выше)

a, b - катеты прямоугольного треугольника

c - гипотенуза

α, β - острые углы треугольника

S - площадь

h - высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу

m a a из противолежащего угла (α )

m b - медиана, проведенная к стороне b из противолежащего угла (β )

m c - медиана, проведенная к стороне c из противолежащего угла (γ )

В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы (Формулы 1 и 2). Данное свойство является следствием теоремы Пифагора .

Косинус любого из острых углов меньше единицы (Формулы 3 и 4). Данное свойство следует из предыдущего. Так как любой из катетов меньше гипотенузы, то из соотношение катета к гипотенузе всегда меньше единицы.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора). (Формула 5). Это свойство постоянно используется при решении задач.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (Формула 6)

Сумма квадратов медиан к катетам, равна пяти квадратам медианы к гипотенузе и пяти квадратам гипотенузы, деленных на четыре (Формула 7). Кроме указанной, есть еще 5 формул , поэтому рекомендуется ознакомиться также и с уроком "Медиана прямоугольного треугольника ", в котором более подробно изложены свойства медианы.

Высота прямоугольного треугольника равна произведению катетов, деленному на гипотенузу (Формула 8)

Квадраты катетов обратно пропорциональны квадрату высоты, опущенной на гипотенузу (Формула 9). Данное тождество также является одним из следствий теоремы Пифагора.

Длина гипотенузы равна диаметру (двум радиусам) описанной окружности (Формула 10). Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности . Это свойство часто используется при решении задач.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти как половину от выражения, включающего в себя сумму катетов этого треугольника минус длину гипотенузы. Или как произведение катетов, деленное на сумму всех сторон (периметр) данного треугольника. (Формула 11)
Синус угла отношению противолежащего данному углу катета к гипотенузе (по определению синуса). (Формула 12). Данное свойство используется при решении задач. Зная величины сторон, можно найти угол, который они образуют.

Косинус угла А (α, альфа) в прямоугольном треугольнике будет равен отношению прилежащего данному углу катета к гипотенузе (по определению синуса). (Формула 13)

Треугольник – это одна из самых известных геометрических фигур. Его используют повсеместно – не только на чертежах, но и в качестве предметов интерьера, деталей разнообразных конструкций и строений. Существует несколько видов данной фигуры – прямоугольный один из них. Его отличительной чертой является наличие прямого угла, равного 90° . Чтобы найти две из трех высот, достаточно вымерить катеты. Третья – это величина между вершиной прямого угла и серединой гипотенузы. Часто в геометрии стоит вопрос, как найти высоту прямоугольного треугольника. Давайте решим эту несложную задачу.

Необходимо:

– линейка;
– книжка по геометрии;
– прямоугольный треугольник.

Инструкция:

• Начертите треугольник с прямым углом АВS , где угол АВS равняется 90 ° , то есть является прямым. Опустите высоту H из прямого угла на гипотенузу – отрезок AS . Место, где отрезки соприкасаются, обозначьте точкой D .
• У Вас должен получиться еще один треугольник – ADB . Обратите внимание, что он подобен уже существующему АВS , так как углы ABS и ADB = 90° , то они равны между собой, а угол BAD является общим для обеих геометрических фигур. Соотнеся их, можно сделать заключение, что стороны AD/AB = BD/BS = AB/AS . Из получившихся соотношений можно вывести, что A D равняется AB²/AS .
• Так как получившийся треугольник ADB имеет прямой угол, во время измерения его сторон и гипотенузы можно использовать теорему Пифагора. Вот как она выглядит: AB² = AD² + BD² . Чтобы ее решить, используйте полученное равенство AD . У Вас должно получиться следующее: BD² = AB² — (AB²/AC)² . Поскольку измеряемый треугольник ABS является прямоугольным, то BS² равняется AS² — AB² . Следовательно, сторона BD² равняется AB²BC²/AC² , что с извлечением корня будет равно BD = AB*BS/AS .
• Аналогично решение можно вывести при помощи другого получившегося треугольника —
  BDS . В данном случае, он также подобен первоначальному АВS , благодаря двум углам – ABS и BDS = 90° , а угол DSB является общим. Дальше, как и в предыдущем примере выводится пропорция в соотношении сторон, где BD/AB = DS/BS = BS/AS . Отсюда величина DS выводится через равенство BS²/AS . Так как, AB² = AD*AS, то BS² = DS*AS . Отсюда делаем вывод, что BD² = (AB*BS/AS)² или AD*AS*DS*AS/AS² , что равняется AD*DS . Чтобы найти высоту в данном случае достаточно изъять корень из произведения DS и AD .

Неважно какая школьная программка содержит в себе таковой предмет как геометрия. Любой из нас, будучи учеником, изучал данную дисциплину и решал определенные задачки. Но для многих людей школьные годы остались сзади и часть обретенных познаний стерлась из памяти.

А что делать, если у вас вдруг появилась необходимость отыскать ответ на некий вопрос из школьного учебника, к примеру, как отыскать высоту в прямоугольном треугольнике? В данном случае современный продвинутый юзер компьютера сперва откроет веб и найдет интересующую его информацию.

Основная информация о треугольниках

Данная геометрическая фигура представляет собой 3 отрезка, соединенных меж собой в конечных точках, при чем места соприкосновения этих точек не находятся на одной прямой. Отрезки, из которых состоит треугольник, именуются его сторонами. Места соединения сторон образуют верхушки фигуры, также ее углы.

Типы треугольников зависимо от углов

Данная фигура может владеть 3-мя видами углов: наточенными, тупыми и прямыми. Зависимо от этого посреди треугольников различают последующие разновидности:

Типы треугольников зависимо от длины сторон

Как было сказано ранее, данная фигура появляется из 3-х отрезков. Исходя из их размера, выделяют последующие виды треугольников:

Как отыскать высоту прямоугольного треугольника

Две схожие стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол в месте собственного соприкосновения, именуются катетами. Отрезок, который их соединяет, носит заглавие «гипотенуза». Чтобы отыскать высоту в данной геометрической фигуре, нужно опустить линию из верхушки прямого угла на гипотенузу. При всем этом данная линия должна разделять угол в 90? ровно напополам. Таковой отрезок именуют биссектрисой.

На картинке выше представлен прямоугольный треугольник, высоту которого нам придется вычислить. Это можно сделать несколькими методами:

Если начертить вокруг треугольника окружность и провести радиус, его величина будет вполовину меньше величины гипотенузы. Исходя из этого, высоту прямоугольного треугольника можно посчитать по формуле:

Прежде всего, треугольник – это геометрическая фигура, которая образуется тремя, не лежащими на одной прямой, точками, которые соединены тремя отрезками. Чтобы найти, чему равна высота треугольника, необходимо, в первую очередь, определить его тип. Треугольники различаются величиной углов и количеством равных углов. По величине углов треугольник может быть остроугольным, тупоугольным и прямоугольным. По числу равных сторон выделяют равнобедренный, равносторонний и разносторонний треугольники. Высота – это перпендикуляр, который опущен на противоположную сторону треугольника из его вершины. Как найти высоту треугольника?

Как найти высоту равнобедренного треугольника

Для равнобедренного треугольника характерно равенство сторон и углов при его основании, поэтому проведенные к боковым сторонам высоты равнобедренного треугольника всегда равны друг другу. Также высота данного треугольника одновременно является медианой и биссектрисой. Соответственно, высота делит основание пополам. Рассматриваем получившийся прямоугольный треугольник и находим сторону, то есть высоту равнобедренного треугольника, посредством теоремы Пифагора. Воспользовавшись следующей формулой, вычисляем высоту: H = 1/2*√4*a 2 − b 2 , где: а - боковая сторона данного равнобедренного треугольника, b - основание данного равнобедренного треугольника.

Как найти высоту равностороннего треугольника

Треугольник с равными сторонами называется равносторонним. Высоту такого треугольника выводят из формулы высоты равнобедренного треугольника. Получается: H = √3/2*a, где a - сторона данного равностороннего треугольника.

Как найти высоту разностороннего треугольника

Разносторонним называют треугольник, у которого какие-либо две стороны не являются равными друг другу. В таком треугольнике все три высоты будут разными. Рассчитать длины высот можно при помощи формулы: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, где а - сторона треугольника или сначала посчитать площадь конкретного треугольника по формуле Герона, которая выглядит как: S = (p*(p-c)*(p-b)*(p-a))^1/2, где а, b, с – стороны разностороннего треугольника, а p – его полупериметр. Каждая высота = 2*площадь/сторону

Как найти высоту прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол. Высота, которая проходит к одному из катетов, в то же время является вторым катетом. Поэтому чтобы найти лежащие на катетах высоты, нужно воспользоваться изменённой формулой Пифагора: a = √(c 2 − b 2), где a, b - это катеты (a - катет, который необходимо найти), c - длина гипотенузы. Для того, чтобы найти вторую высоту надо поставить полученное значение a на место b. Для нахождения третьей, лежащей внутри треугольника, высоты применяется следующая формула: h = 2s/a, где h - высота прямоугольного треугольника, s - его площадь, a - длина стороны, к которой будет перпендикулярна высота.

Треугольник называется остроугольным в случае, если все его углы острые. В таком случае все три высоты располагаются внутри остроугольного треугольника. Треугольник называется тупоугольным при наличии одного тупого угла. Две высоты тупоугольного треугольника находятся вне треугольника и падают на продолжение сторон. Третья сторона находится внутри треугольника. Высота определяется при помощи все той же теоремы Пифагора.

Общие формулы, как вычисления высоты треугольника

• Формула для нахождения высоты треугольника через стороны: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), где h - высота, которую нужно найти, а, b и c – стороны данного треугольника, p – его полупериметр, .
• Формула для нахождения высоты треугольника через угол и сторону: H=b sin y = c sin ß
• Формула для нахождения высоты треугольника через площадь и сторону: h = 2S/a, где a – это сторона треугольника, а h – построенная к стороне а высота.
• Формула для нахождения высоты треугольника через радиус и стороны: H= bc/2R.

Любая школьная программа включает в себя такой предмет как геометрия. Каждый из нас, будучи учеником, изучал данную дисциплину и решал определенные задачи. Но для многих людей школьные годы остались позади и часть приобретенных знаний стерлась из памяти.

А что делать, если у вас вдруг возникла необходимость найти ответ на какой-то вопрос из школьного учебника, например, как найти высоту в прямоугольном треугольнике? В этом случае современный продвинутый пользователь компьютера первым делом откроет интернет и отыщет интересующую его информацию.

Основная информация о треугольниках

Данная геометрическая фигура представляет собой 3 отрезка, соединенных между собой в конечных точках, при чем места соприкосновения этих точек не находятся на одной прямой. Отрезки, из которых состоит треугольник, называются его сторонами. Места соединения сторон образуют вершины фигуры, а также ее углы.

Типы треугольников в зависимости от углов

Данная фигура может обладать тремя видами углов: острыми, тупыми и прямыми. В зависимости от этого среди треугольников различают следующие разновидности:

Типы треугольников в зависимости от длины сторон

Как было сказано ранее, данная фигура образуется из трех отрезков. Исходя из их размера, выделяют следующие виды треугольников:

Как найти высоту прямоугольного треугольника

Две одинаковые стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол в месте своего соприкосновения, называются катетами. Отрезок, который их соединяет, носит название «гипотенуза». Чтоб найти высоту в данной геометрической фигуре, необходимо опустить линию из вершины прямого угла на гипотенузу. При этом данная линия должна делить угол в 90º ровно пополам. Такой отрезок называют биссектрисой.

На картинке выше представлен прямоугольный треугольник , высоту которого нам придется вычислить. Это можно сделать несколькими способами:

Если начертить вокруг треугольника окружность и провести радиус, его величина будет вполовину меньше величины гипотенузы. Исходя из этого, высоту прямоугольного треугольника можно посчитать по формуле:

Как удалить страницу в Одноклассниках Гадание на игральных картах: значение карт, гадание на будущее, на любовь
Гадание на Святки на суженого: как погадать на любимого человека