Abschlussformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke sowie beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Nummer C Ist N-te Potenz einer Zahl A Wann:

Operationen mit Abschlüssen.

1. Durch Multiplikation der Grade mit derselben Basis werden ihre Indikatoren addiert:

Bin·a n = a m + n .

2. Bei der Division von Graden mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert:

3. Potenz des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Potenzen dieser Faktoren:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

(a/b) n = a n /b n .

5. Bei der Potenzierung werden die Exponenten multipliziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel gilt in der Richtung von links nach rechts und umgekehrt.

Zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operationen mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel eines Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Teilers der Wurzeln:

3. Bei der Potenzierung einer Wurzel reicht es aus, die Wurzelzahl auf diese Potenz zu erhöhen:

4. Wenn Sie den Wurzelgrad erhöhen N einmal und gleichzeitig einbauen N Die Potenz ist eine Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn Sie den Wurzelgrad reduzieren N Extrahieren Sie gleichzeitig die Wurzel N-te Potenz einer Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Ein Abschluss mit einem negativen Exponenten. Die Potenz einer bestimmten Zahl mit einem nicht positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins geteilt durch die Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten, der dem Absolutwert des nicht positiven Exponenten entspricht:

Formel Bin:a n =a m - n kann nicht nur für verwendet werden M> N, aber auch mit M< N.

Zum Beispiel. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel Bin:a n =a m - n wurde fair, als m=n, das Vorhandensein von Nullgrad ist erforderlich.

Ein Abschluss mit einem Nullindex. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich eins.

Zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit gebrochenem Exponenten. Eine reelle Zahl erhöhen A bis zum Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren N Grad der M-te Potenz dieser Zahl A.

Eines der Hauptmerkmale in der Algebra und in der gesamten Mathematik ist der Abschluss. Natürlich können im 21. Jahrhundert alle Berechnungen mit einem Online-Rechner durchgeführt werden, aber für die Entwicklung des Gehirns ist es besser, zu lernen, wie man das selbst macht.

In diesem Artikel werden wir die wichtigsten Aspekte dieser Definition betrachten. Lassen Sie uns nämlich verstehen, was es im Allgemeinen ist und welche Hauptfunktionen es hat und welche Eigenschaften es in der Mathematik gibt.

Schauen wir uns Beispiele an, wie die Berechnung aussieht und wie die Grundformeln lauten. Schauen wir uns die wichtigsten Arten von Größen an und wie sie sich von anderen Funktionen unterscheiden.

Lassen Sie uns verstehen, wie man mit dieser Menge verschiedene Probleme lösen kann. Wir zeigen anhand von Beispielen, wie man irrational, negativ usw. auf die Nullpotenz erhöht.

Online-Potenzierungsrechner

Was ist eine Potenz einer Zahl?

Was versteht man unter dem Ausdruck „eine Zahl potenzieren“?

Die Potenz n einer Zahl ist das Produkt von Größenfaktoren a n-mal hintereinander.

Mathematisch sieht es so aus:

a n = a * a * a * …a n .

Zum Beispiel:

• 2 3 = 2 im dritten Grad. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 zum Schritt. zwei = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 zum Schritt. vier = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 in 5 Schritten. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 in 4 Schritten. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Unten finden Sie eine Tabelle mit Quadraten und Würfeln von 1 bis 10.

Gradtabelle von 1 bis 10

Nachfolgend finden Sie die Ergebnisse der Potenzierung natürlicher Zahlen auf positive Potenzen – „von 1 auf 100“.

Ch-lo	2. St.	3. Stufe
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Eigenschaften von Graden

Was ist charakteristisch für eine solche mathematische Funktion? Schauen wir uns die grundlegenden Eigenschaften an.

Wissenschaftler haben Folgendes festgestellt für alle Grade charakteristische Zeichen:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Andererseits ist 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Ähnlich: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Ansonsten 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Was ist, wenn es anders ist? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Wie Sie sehen, funktionieren die Regeln.

Aber was ist mit mit Addition und Subtraktion? Es ist einfach. Zuerst wird die Potenzierung durchgeführt, dann die Addition und Subtraktion.

Schauen wir uns Beispiele an:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Bitte beachten Sie: Die Regel gilt nicht, wenn Sie zuerst subtrahieren: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

In diesem Fall müssen Sie jedoch zuerst die Addition berechnen, da in Klammern Aktionen stehen: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Wie man produziert Berechnungen in komplexeren Fällen? Die Reihenfolge ist dieselbe:

• Wenn Klammern vorhanden sind, müssen Sie mit ihnen beginnen.
• dann Potenzierung;
• führen Sie dann die Operationen der Multiplikation und Division durch;
• nach Addition, Subtraktion.

Es gibt bestimmte Eigenschaften, die nicht für alle Abschlüsse charakteristisch sind:

1. Die n-te Wurzel einer Zahl a zum m-Grad wird geschrieben als: a m / n.
2. Bei der Potenzierung eines Bruchs: Sowohl der Zähler als auch der Nenner unterliegen diesem Verfahren.
3. Wenn man das Produkt verschiedener Zahlen potenziert, entspricht der Ausdruck dem Produkt dieser Zahlen mit der gegebenen Potenz. Das heißt: (a * b) n = a n * b n .
4. Wenn Sie eine Zahl negativ potenzieren möchten, müssen Sie 1 durch eine Zahl im selben Jahrhundert dividieren, jedoch mit einem „+“-Zeichen.
5. Wenn der Nenner eines Bruchs eine negative Potenz ist, ist dieser Ausdruck gleich dem Produkt aus Zähler und Nenner einer positiven Potenz.
6. Jede Zahl hoch 0 = 1 und hoch. 1 = zu dir selbst.

Diese Regeln sind in manchen Fällen wichtig; wir werden sie im Folgenden genauer betrachten.

Abschluss mit negativem Exponenten

Was tun bei Minusgraden, also wenn der Indikator negativ ist?

Basierend auf den Eigenschaften 4 und 5(siehe Punkt oben), es stellt sich heraus:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Umgekehrt:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 · 3 = 8.

Was ist, wenn es ein Bruchteil ist?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Abschluss mit natürlichem Indikator

Es wird als Grad verstanden, dessen Exponenten ganzen Zahlen entsprechen.

Dinge, die Sie sich merken sollten:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...usw.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...usw.

Wenn außerdem (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... ist, wird das Ergebnis mit einem „+“-Zeichen versehen. Wenn eine negative Zahl ungerade potenziert wird, dann ist es umgekehrt.

Charakteristisch für sie sind auch allgemeine Eigenschaften und alle oben beschriebenen spezifischen Merkmale.

Bruchgrad

Dieser Typ kann als Schema geschrieben werden: A m / n. Gelesen als: die n-te Wurzel der Zahl A hoch m.

Sie können mit einem Bruchindikator machen, was Sie wollen: ihn verkleinern, in Teile aufteilen, auf eine andere Potenz erhöhen usw.

Grad mit irrationalem Exponenten

Sei α eine irrationale Zahl und A ˃ 0.

Um das Wesen eines Abschlusses anhand eines solchen Indikators zu verstehen, Schauen wir uns verschiedene mögliche Fälle an:

• A = 1. Das Ergebnis ist gleich 1. Da es ein Axiom gibt, ist 1 in allen Potenzen gleich eins;

À r 1 ˂ À α ˂ À r 2 , r 1 ˂ r 2 – rationale Zahlen;

• 0˂А˂1.

In diesem Fall ist es umgekehrt: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 unter den gleichen Bedingungen wie im zweiten Absatz.

Der Exponent ist beispielsweise die Zahl π. Es ist rational.

r 1 – in diesem Fall gleich 3;

r 2 – wird gleich 4 sein.

Dann ist für A = 1 1 π = 1.

A = 2, dann 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, dann (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Solche Abschlüsse zeichnen sich durch alle oben beschriebenen mathematischen Operationen und spezifischen Eigenschaften aus.

Abschluss

Fassen wir zusammen: Wofür werden diese Größen benötigt, was sind die Vorteile solcher Funktionen? Natürlich vereinfachen sie zunächst einmal das Leben von Mathematikern und Programmierern beim Lösen von Beispielen, da sie es ihnen ermöglichen, Berechnungen zu minimieren, Algorithmen zu verkürzen, Daten zu systematisieren und vieles mehr.

Wo sonst kann dieses Wissen nützlich sein? In jedem Arbeitsgebiet: Medizin, Pharmakologie, Zahnmedizin, Bauwesen, Technologie, Ingenieurwesen, Design usw.

Erste Ebene

Grad und seine Eigenschaften. Der umfassende Leitfaden (2019)

Warum werden Abschlüsse benötigt? Wo werden Sie sie brauchen? Warum sollten Sie sich die Zeit nehmen, sie zu studieren?

Erfahren Sie alles über Abschlüsse, wozu sie dienen und wie Sie Ihr Wissen einsetzen können Alltagsleben Lesen Sie diesen Artikel.

Und natürlich bringen Sie die Kenntnis der Abschlüsse dem erfolgreichen Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens bzw. der Einheitlichen Staatsprüfung und dem Eintritt in die Universität Ihrer Träume näher.

Los geht's!)

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ERSTE EBENE

Potenzierung ist eine mathematische Operation, genau wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.

Jetzt werde ich alles in menschlicher Sprache anhand sehr einfacher Beispiele erklären. Seien Sie vorsichtig. Die Beispiele sind elementar, erklären aber Wichtiges.

Beginnen wir mit der Addition.

Hier gibt es nichts zu erklären. Sie wissen bereits alles: Wir sind zu acht. Jede Person hat zwei Flaschen Cola. Wie viel Cola gibt es? Genau, 16 Flaschen.

Jetzt Multiplikation.

Das gleiche Beispiel mit Cola kann anders geschrieben werden: . Mathematiker sind schlaue und faule Leute. Sie bemerken zunächst einige Muster und finden dann einen Weg, sie schneller zu „zählen“. In unserem Fall stellten sie fest, dass jede der acht Personen die gleiche Anzahl Cola-Flaschen hatte, und entwickelten eine Technik namens Multiplikation. Stimmen Sie zu, es gilt als einfacher und schneller als.

Um also schneller, einfacher und fehlerfrei zu zählen, müssen Sie sich nur daran erinnern Multiplikationstabelle. Natürlich geht es auch langsamer, schwieriger und mit Fehlern! Aber…

Hier ist die Multiplikationstabelle. Wiederholen.

Und noch eins, schöneres:

Welche anderen cleveren Zähltricks haben sich faule Mathematiker ausgedacht? Rechts - eine Zahl potenzieren.

Eine Zahl potenzieren

Wenn Sie eine Zahl fünfmal mit sich selbst multiplizieren müssen, sagen Mathematiker, dass Sie diese Zahl auf die fünfte Potenz erhöhen müssen. Zum Beispiel, . Mathematiker erinnern sich daran, dass zwei hoch fünf... Und sie lösen solche Probleme im Kopf – schneller, einfacher und fehlerfrei.

Alles was Sie tun müssen ist Merken Sie sich, was in der Tabelle der Zahlenpotenzen farblich hervorgehoben ist. Glauben Sie mir, das wird Ihr Leben viel einfacher machen.

Warum heißt es übrigens zweiter Grad? Quadrat Zahlen und der dritte - Würfel? Was bedeutet das? Sehr gute Frage. Jetzt haben Sie sowohl Quadrate als auch Würfel.

Beispiel Nr. 1 aus dem wirklichen Leben

Beginnen wir mit dem Quadrat oder der zweiten Potenz der Zahl.

Stellen Sie sich einen quadratischen Pool vor, der einen mal einen Meter misst. Der Pool befindet sich in Ihrer Datscha. Es ist heiß und ich möchte unbedingt schwimmen. Aber... der Pool hat keinen Boden! Sie müssen den Boden des Pools mit Fliesen abdecken. Wie viele Fliesen benötigen Sie? Um dies zu ermitteln, müssen Sie den Bodenbereich des Beckens kennen.

Sie können ganz einfach per Fingerzeig ausrechnen, dass der Boden des Beckens aus meterweise großen Würfeln besteht. Wenn Sie Fliesen von einer Größe von einem Meter auf einen Meter haben, benötigen Sie Stücke. Es ist ganz einfach... Aber wo hat man solche Fliesen gesehen? Die Fliese wird höchstwahrscheinlich cm für cm groß sein und dann wird man mit dem „Zählen mit dem Finger“ gefoltert. Dann muss man multiplizieren. Wir werden also auf einer Seite des Beckenbodens Fliesen (Stücke) und auf der anderen Seite ebenfalls Fliesen anbringen. Multiplizieren Sie mit und Sie erhalten Kacheln ().

Ist Ihnen aufgefallen, dass wir zur Bestimmung der Fläche des Beckenbodens dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert haben? Was bedeutet das? Da wir dieselbe Zahl multiplizieren, können wir die Technik der „Potenzierung“ verwenden. (Wenn Sie nur zwei Zahlen haben, müssen Sie diese natürlich trotzdem multiplizieren oder potenzieren. Aber wenn Sie viele davon haben, ist das Potenzieren viel einfacher und es gibt auch weniger Fehler in den Berechnungen . Für das Einheitliche Staatsexamen ist dies sehr wichtig.
Dreißig hoch zwei ist also (). Oder wir können sagen, dass es dreißig im Quadrat sein werden. Mit anderen Worten: Die zweite Potenz einer Zahl kann immer als Quadrat dargestellt werden. Und umgekehrt, wenn Sie ein Quadrat sehen, ist es IMMER die zweite Potenz einer Zahl. Ein Quadrat ist ein Bild der zweiten Potenz einer Zahl.

Beispiel Nr. 2 aus dem wirklichen Leben

Hier ist eine Aufgabe für Sie: Zählen Sie anhand des Zahlenquadrats, wie viele Felder es auf dem Schachbrett gibt ... Auf der einen Seite der Zellen und auch auf der anderen. Um ihre Zahl zu zählen, müssen Sie acht mit acht multiplizieren oder ... wenn Ihnen das auffällt Schachbrett- Dies ist ein Quadrat mit einer Seite, dann können Sie eine Acht quadrieren. Sie erhalten Zellen. () Also?

Beispiel Nr. 3 aus dem wirklichen Leben

Nun die Potenz bzw. die dritte Potenz einer Zahl. Derselbe Pool. Jetzt müssen Sie jedoch herausfinden, wie viel Wasser in dieses Becken gegossen werden muss. Sie müssen das Volumen berechnen. (Volumina und Flüssigkeiten werden übrigens in gemessen Kubikmeter. Unerwartet, oder?) Zeichnen Sie ein Becken: einen Boden von einem Meter und eine Tiefe von einem Meter und versuchen Sie zu zählen, wie viele Würfel von einem Meter mal einem Meter in Ihr Becken passen.

Zeigen Sie einfach mit dem Finger und zählen Sie! Eins, zwei, drei, vier ... zweiundzwanzig, dreiundzwanzig ... Wie viele hast du bekommen? Nicht verloren? Ist es schwierig, mit dem Finger zu zählen? So dass! Nehmen Sie ein Beispiel von Mathematikern. Sie sind faul und haben bemerkt, dass man zur Berechnung des Beckenvolumens dessen Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizieren muss. In unserem Fall entspricht das Volumen des Pools einem Würfel... Einfacher, oder?

Stellen Sie sich nun vor, wie faul und schlau die Mathematiker wären, wenn sie auch dies vereinfachen würden. Wir haben alles auf eine Aktion reduziert. Sie stellten fest, dass Länge, Breite und Höhe gleich sind und dass dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert wird ... Was bedeutet das? Das bedeutet, dass Sie den Abschluss nutzen können. Was Sie also einmal mit dem Finger gezählt haben, erledigen sie in einer Aktion: Drei Würfel sind gleich. Es ist so geschrieben: .

Es bleibt nur noch Denken Sie an die Gradtabelle. Es sei denn natürlich, Sie sind so faul und schlau wie Mathematiker. Wenn Sie gerne hart arbeiten und Fehler machen, können Sie weiterhin mit dem Finger zählen.

Nun, um Sie endlich davon zu überzeugen, dass Abschlüsse von Aufgebenden und schlauen Menschen erfunden wurden, um ihre Lebensprobleme zu lösen und nicht, um Ihnen Probleme zu bereiten, hier ein paar weitere Beispiele aus dem Leben.

Beispiel Nr. 4 aus dem wirklichen Leben

Sie haben eine Million Rubel. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million, die Sie verdienen, eine weitere Million. Das heißt, jede Million von Ihnen verdoppelt sich zu Beginn eines jeden Jahres. Wie viel Geld werden Sie in Jahren haben? Wenn Sie jetzt sitzen und „mit dem Finger zählen“, dann sind Sie ein sehr fleißiger Mensch und ... dumm. Aber höchstwahrscheinlich werden Sie in ein paar Sekunden eine Antwort geben, weil Sie schlau sind! Also, im ersten Jahr – zwei multipliziert mit zwei … im zweiten Jahr – was im dritten Jahr um zwei weitere geschah … Stopp! Sie haben bemerkt, dass die Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Zwei hoch fünf ist also eine Million! Stellen Sie sich nun vor, Sie haben einen Wettbewerb und derjenige, der am schnellsten zählen kann, wird diese Millionen bekommen ... Es lohnt sich, sich an die Macht der Zahlen zu erinnern, finden Sie nicht?

Beispiel Nr. 5 aus dem wirklichen Leben

Du hast eine Million. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million, die Sie verdienen, zwei weitere. Großartig, nicht wahr? Jede Million wird verdreifacht. Wie viel Geld werden Sie in einem Jahr haben? Lass uns zählen. Das erste Jahr – mit multiplizieren, dann das Ergebnis mit einem anderen... Es ist schon langweilig, weil Sie schon alles verstanden haben: Drei wird mit sich selbst mal multipliziert. In der vierten Potenz entspricht es also einer Million. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass drei hoch vier Potenzen oder sind.

Jetzt wissen Sie, dass Sie Ihr Leben viel einfacher machen, wenn Sie eine Zahl potenzieren. Werfen wir einen genaueren Blick darauf, was Sie mit Abschlüssen alles machen können und was Sie darüber wissen müssen.

Begriffe und Konzepte... um nicht durcheinander zu kommen

Definieren wir also zunächst die Konzepte. Wie denkst du, Was ist ein Exponent?? Es ist ganz einfach: Es ist die Zahl, die „an der Spitze“ der Potenz der Zahl steht. Nicht wissenschaftlich, aber klar und leicht zu merken ...

Nun, zur gleichen Zeit, was eine solche Abschlussbasis? Noch einfacher: Dies ist die Nummer, die sich unten an der Basis befindet.

Hier ist eine Zeichnung zur Sicherheit.

Na gut rein Gesamtansicht, um es zu verallgemeinern und besser zu merken... Ein Grad mit einer Basis „ “ und einem Exponenten „ “ wird als „bis zum Grad“ gelesen und wie folgt geschrieben:

Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten

Sie haben es wahrscheinlich schon erraten: Weil der Exponent eine natürliche Zahl ist. Ja, aber was ist das? natürliche Zahl? Elementar! Natürliche Zahlen sind die Zahlen, die beim Zählen von Objekten verwendet werden: eins, zwei, drei ... Wenn wir Objekte zählen, sagen wir nicht: „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“. Wir sagen auch nicht: „ein Drittel“ oder „null Komma fünf“. Das sind keine natürlichen Zahlen. Welche Zahlen sind das Ihrer Meinung nach?

Zahlen wie „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“ beziehen sich auf ganze Zahlen. Im Allgemeinen umfassen ganze Zahlen alle natürlichen Zahlen, Zahlen, die den natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind (d. h. mit einem Minuszeichen versehen) und Zahlen. Null ist leicht zu verstehen – es ist, wenn es nichts gibt. Was bedeuten negative („Minus“) Zahlen? Sie wurden jedoch in erster Linie erfunden, um Schulden anzuzeigen: Wenn Sie auf Ihrem Telefon ein Guthaben in Rubel haben, bedeutet dies, dass Sie dem Betreiber Rubel schulden.

Alle Brüche sind rationale Zahlen. Wie sind sie Ihrer Meinung nach entstanden? Sehr einfach. Vor mehreren tausend Jahren entdeckten unsere Vorfahren, dass ihnen natürliche Zahlen zur Messung von Länge, Gewicht, Fläche usw. fehlten. Und sie haben es sich ausgedacht Rationale Zahlen... Interessant, nicht wahr?

Es gibt auch irrationale Zahlen. Was sind das für Zahlen? Kurz gesagt, es ist ein unendlicher Dezimalbruch. Teilt man beispielsweise den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser, erhält man eine irrationale Zahl.

Zusammenfassung:

Definieren wir das Konzept eines Grades, dessen Exponent eine natürliche Zahl (d. h. ganzzahlig und positiv) ist.

1. Jede Zahl in der ersten Potenz ist gleich sich selbst:
2. Eine Zahl quadrieren bedeutet, sie mit sich selbst zu multiplizieren:
3. Eine Zahl zu würfeln bedeutet, sie dreimal mit sich selbst zu multiplizieren:

Definition. Eine Zahl auf eine natürliche Potenz zu erhöhen bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:
.

Eigenschaften von Graden

Woher kamen diese Eigenschaften? Ich werde es dir jetzt zeigen.

Mal sehen: Was ist das? Und ?

A-Priorat:

Wie viele Multiplikatoren gibt es insgesamt?

Es ist ganz einfach: Wir haben den Faktoren Multiplikatoren hinzugefügt und das Ergebnis sind Multiplikatoren.

Aber per Definition ist dies eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, also: , was bewiesen werden musste.

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung:

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung: Es ist wichtig, dies in unserer Regel zu beachten Notwendig Es muss die gleichen Gründe geben!
Daher kombinieren wir die Kräfte mit der Basis, aber es bleibt ein separater Faktor:

nur für das Produkt der Potenzen!

Das darf man auf keinen Fall schreiben.

2. Das ist es Potenz einer Zahl

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck mit sich selbst multipliziert wird, das heißt laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:

Im Wesentlichen kann man dies als „Ausklammern des Indikators“ bezeichnen. Aber das kann man nie in Gänze tun:

Erinnern wir uns an die abgekürzten Multiplikationsformeln: Wie oft wollten wir schreiben?

Aber das stimmt schließlich nicht.

Leistung mit negativer Basis

Bisher haben wir nur besprochen, was der Exponent sein sollte.

Doch was soll die Grundlage sein?

In Potenzen von natürlicher Indikator die grundlage kann sein irgendeine Nummer. Tatsächlich können wir beliebige Zahlen miteinander multiplizieren, seien sie positiv, negativ oder sogar.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen („“ oder „“) Grad positiver und negativer Zahlen haben werden.

Ist die Zahl beispielsweise positiv oder negativ? A? ? Beim ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind etwas interessanter. Wir erinnern uns an die einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus für Minus ergibt ein Plus.“ Das heißt, oder. Aber wenn wir mit multiplizieren, funktioniert es.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben werden:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Hast du es geschafft?

Hier sind die Antworten: In den ersten vier Beispielen hoffe ich, dass alles klar ist? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Auch in Beispiel 5) ist alles nicht so beängstigend, wie es scheint: Schließlich spielt es keine Rolle, welcher Basis gleich ist – der Grad ist gerade, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird.

Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht gleich, oder? Offensichtlich nicht, denn (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach!

6 Beispiele zum Üben

Analyse der Lösung 6 Beispiele

Was sehen wir hier, wenn wir die achte Potenz ignorieren? Erinnern wir uns an das Programm der 7. Klasse. Also, erinnerst du dich? Dies ist die Formel für die abgekürzte Multiplikation, nämlich die Differenz der Quadrate! Wir bekommen:

Schauen wir uns den Nenner genau an. Es sieht einem der Zählerfaktoren sehr ähnlich, aber was ist falsch? Die Reihenfolge der Begriffe ist falsch. Bei einer Umkehrung könnte die Regel gelten.

Aber wie geht das? Es stellt sich heraus, dass es ganz einfach ist: Der gerade Grad des Nenners hilft uns hier.

Auf magische Weise wechselten die Begriffe ihre Plätze. Dieses „Phänomen“ gilt in gleichem Maße für jeden Ausdruck: Wir können die Vorzeichen in Klammern leicht ändern.

Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: Alle Vorzeichen ändern sich gleichzeitig!

Kehren wir zum Beispiel zurück:

Und noch einmal die Formel:

Ganz Wir nennen die natürlichen Zahlen, ihre Gegensätze (also mit dem „ “-Zeichen genommen) und die Zahl.

positive ganze Zahl, und es unterscheidet sich nicht von natürlich, dann sieht alles genauso aus wie im vorherigen Abschnitt.

Schauen wir uns nun neue Fälle an. Beginnen wir mit einem Indikator gleich.

Jede Zahl hoch null ist gleich eins:

Fragen wir uns wie immer: Warum ist das so?

Betrachten wir einen Grad mit einer Basis. Nehmen Sie zum Beispiel und multiplizieren Sie mit:

Also multiplizierten wir die Zahl mit und bekamen das Gleiche wie es war – . Mit welcher Zahl muss man multiplizieren, damit sich nichts ändert? Genau, weiter. Bedeutet.

Das Gleiche können wir auch mit einer beliebigen Zahl machen:

Wiederholen wir die Regel:

Jede Zahl hoch null ist gleich eins.

Doch von vielen Regeln gibt es Ausnahmen. Und hier ist es auch da – das ist eine Zahl (als Basis).

Einerseits muss es in jedem Grad gleich sein – egal wie viel man Null mit sich selbst multipliziert, man erhält immer noch Null, das ist klar. Aber andererseits muss sie wie jede Zahl hoch null gleich sein. Was davon ist also wahr? Die Mathematiker entschieden sich, sich nicht darauf einzulassen und weigerten sich, Null in die Nullpotenz zu erhöhen. Das heißt, wir können jetzt nicht nur durch Null dividieren, sondern es auch mit Null potenzieren.

Lass uns weitermachen. Zu den ganzen Zahlen zählen neben natürlichen Zahlen und Zahlen auch negative Zahlen. Um zu verstehen, was eine negative Potenz ist, gehen wir wie beim letzten Mal vor: Multiplizieren Sie eine normale Zahl mit derselben Zahl, um eine negative Potenz zu erhalten:

Von hier aus können Sie ganz einfach ausdrücken, wonach Sie suchen:

Nun erweitern wir die resultierende Regel beliebig:

Formulieren wir also eine Regel:

Eine Zahl mit negativer Potenz ist der Kehrwert derselben Zahl mit positiver Potenz. Aber zur selben Zeit Die Basis darf nicht null sein:(weil man nicht durch teilen kann).

Fassen wir zusammen:

I. Der Ausdruck ist in diesem Fall nicht definiert. Wenn, dann.

II. Jede Zahl hoch null ist gleich eins: .

III. Zahl, nicht gleich Null, zu einem negativen Grad ist die Umkehrung derselben Zahl zu einem positiven Grad: .

Aufgaben zur eigenständigen Lösung:

Nun, wie immer Beispiele für unabhängige Lösungen:

Analyse von Problemen zur eigenständigen Lösung:

Ich weiß, ich weiß, die Zahlen sind beängstigend, aber beim Einheitlichen Staatsexamen muss man auf alles vorbereitet sein! Lösen Sie diese Beispiele oder analysieren Sie ihre Lösungen, wenn Sie sie nicht lösen konnten, und Sie werden lernen, in der Prüfung problemlos damit umzugehen!

Erweitern wir den Zahlenbereich, der als Exponent „geeignet“ ist, weiter.

Lassen Sie uns nun überlegen Rationale Zahlen. Welche Zahlen nennt man rational?

Antwort: alles, was als Bruch dargestellt werden kann, wobei und ganze Zahlen sind und.

Um zu verstehen, was es ist „Bruchgrad“ Betrachten Sie den Bruch:

Potenzieren wir beide Seiten der Gleichung:

Erinnern wir uns nun an die Regel über „Grad zu Grad“:

Welche Zahl muss potenziert werden, um sie zu erhalten?

Diese Formulierung ist die Definition der Wurzel des th-Grades.

Ich möchte Sie daran erinnern: Die Wurzel der Potenz einer Zahl () ist eine Zahl, die, wenn sie potenziert wird, gleich ist.

Das heißt, die Wurzel der Potenz ist die umgekehrte Operation der Potenzierung: .

Es stellt sich heraus, dass. Offensichtlich lässt sich dieser Spezialfall erweitern: .

Nun fügen wir den Zähler hinzu: Was ist das? Die Antwort lässt sich leicht mit der Power-to-Power-Regel erhalten:

Aber kann die Basis eine beliebige Zahl sein? Schließlich lässt sich nicht aus allen Zahlen die Wurzel ziehen.

Keiner!

Erinnern wir uns an die Regel: Jede gerade Potenz ist eine positive Zahl. Das heißt, es ist unmöglich, gerade Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen!

Dies bedeutet, dass solche Zahlen nicht mit einem geraden Nenner in eine gebrochene Potenz gebracht werden können, das heißt, der Ausdruck ergibt keinen Sinn.

Was ist mit dem Ausdruck?

Aber hier entsteht ein Problem.

Die Zahl kann beispielsweise in Form anderer, reduzierbarer Brüche dargestellt werden, oder.

Und es stellt sich heraus, dass es existiert, aber nicht existiert, sondern dass es sich nur um zwei verschiedene Datensätze derselben Nummer handelt.

Oder ein anderes Beispiel: Einmal, dann kannst du es aufschreiben. Aber wenn wir den Indikator anders aufschreiben, geraten wir erneut in Schwierigkeiten: (das heißt, wir haben ein völlig anderes Ergebnis erhalten!).

Um solche Paradoxien zu vermeiden, überlegen wir nur positiver Basisexponent mit gebrochenem Exponenten.

Also wenn:

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Rationale Exponenten sind sehr nützlich für die Transformation von Ausdrücken mit Wurzeln, zum Beispiel:

5 Beispiele zum Üben

Analyse von 5 Beispielen für das Training

Nun kommt der schwierigste Teil. Jetzt werden wir es herausfinden Grad mit irrationalem Exponenten.

Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier mit der Ausnahme genau die gleichen wie für einen Grad mit rationalem Exponenten

Schließlich sind irrationale Zahlen per Definition Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (das heißt, irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen außer rationalen Zahlen).

Bei der Untersuchung von Graden mit natürlichen, ganzzahligen und rationalen Exponenten haben wir jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen erstellt.

Beispielsweise ist ein Grad mit natürlichem Exponenten eine mehrfach mit sich selbst multiplizierte Zahl;

...Zahl hoch null- das ist sozusagen eine Zahl, die einmal mit sich selbst multipliziert wird, d. , nämlich eine Zahl;

...negativer ganzzahliger Grad- Es ist, als ob ein „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.

In der Wissenschaft wird übrigens oft ein Grad mit einem komplexen Exponenten verwendet, das heißt, der Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl.

Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach; Sie werden im Institut die Möglichkeit haben, diese neuen Konzepte zu verstehen.

WOHIN WIR SICHER SIND, WERDEN SIE GEHEN! (Wenn Sie lernen, solche Beispiele zu lösen :))

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

Analyse der Lösungen:

1. Beginnen wir mit der üblichen Regel zur Potenzsteigerung:

Schauen Sie sich nun den Indikator an. Erinnert er dich an nichts? Erinnern wir uns an die Formel für die abgekürzte Multiplikation der Quadratdifferenz:

In diesem Fall,

Es stellt sich heraus, dass:

Antwort: .

2. Wir reduzieren Brüche in Exponenten auf die gleiche Form: entweder beide Dezimalzahlen oder beide gewöhnlichen. Wir erhalten zum Beispiel:

Antwort: 16

3. Nichts Besonderes, wir verwenden die üblichen Eigenschaften von Graden:

FORTGESCHRITTENES LEVEL

Bestimmung des Abschlusses

Ein Abschluss ist ein Ausdruck der Form: , wobei:

• — Abschlussbasis;
• - Exponent.

Abschluss mit natürlichem Indikator (n = 1, 2, 3,...)

Eine Zahl auf die natürliche Potenz n zu erhöhen bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:

Grad mit einem ganzzahligen Exponenten (0, ±1, ±2,...)

Wenn der Exponent ist positive ganze Zahl Nummer:

Konstruktion bis zum Nullgrad:

Der Ausdruck ist unbestimmt, denn einerseits ist dies in jedem Grad der Fall, und andererseits ist dies jede Zahl im Th-Grad.

Wenn der Exponent ist negative ganze Zahl Nummer:

(weil man nicht durch teilen kann).

Noch einmal zu den Nullen: Der Ausdruck ist in diesem Fall nicht definiert. Wenn, dann.

Beispiele:

Potenz mit rationalem Exponenten

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Eigenschaften von Graden

Um die Lösung von Problemen zu erleichtern, versuchen wir zu verstehen: Woher kommen diese Eigenschaften? Lassen Sie uns sie beweisen.

Mal sehen: Was ist und?

A-Priorat:

Auf der rechten Seite dieses Ausdrucks erhalten wir also das folgende Produkt:

Aber per Definition ist es eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, das heißt:

Q.E.D.

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung : .

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung : Es ist wichtig, das in unserer Regel zu beachten Notwendig Es muss die gleichen Gründe geben. Daher kombinieren wir die Kräfte mit der Basis, aber es bleibt ein separater Faktor:

Noch ein wichtiger Hinweis: Diese Regel - nur für Potenzprodukte!

Das darf man auf keinen Fall schreiben.

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Lassen Sie uns diese Arbeit wie folgt neu gruppieren:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck mit sich selbst multipliziert wird, das heißt laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:

Im Wesentlichen kann man dies als „Ausklammern des Indikators“ bezeichnen. Aber das kann man nie in Gänze schaffen: !

Erinnern wir uns an die abgekürzten Multiplikationsformeln: Wie oft wollten wir schreiben? Aber das stimmt schließlich nicht.

Macht mit negativer Basis.

Bisher haben wir nur besprochen, wie es sein sollte Index Grad. Doch was soll die Grundlage sein? In Potenzen von natürlich Indikator die grundlage kann sein irgendeine Nummer .

Tatsächlich können wir beliebige Zahlen miteinander multiplizieren, seien sie positiv, negativ oder sogar. Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen („“ oder „“) Grad positiver und negativer Zahlen haben werden.

Ist die Zahl beispielsweise positiv oder negativ? A? ?

Beim ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind etwas interessanter. Wir erinnern uns an die einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus für Minus ergibt ein Plus.“ Das heißt, oder. Aber wenn wir mit () multiplizieren, erhalten wir - .

Und so weiter bis ins Unendliche: Bei jeder weiteren Multiplikation ändert sich das Vorzeichen. Wir können Folgendes formulieren einfache Regeln:

1. sogar Grad, - Zahl positiv.
2. Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
3. Eine positive Zahl ist in jedem Grad eine positive Zahl.
4. Null zu jeder Potenz ist gleich Null.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben werden:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Hast du es geschafft? Hier sind die Antworten:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In den ersten vier Beispielen hoffe ich, dass alles klar ist? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

Auch in Beispiel 5) ist alles nicht so beängstigend, wie es scheint: Schließlich spielt es keine Rolle, welcher Basis gleich ist – der Grad ist gerade, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird. Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht gleich, oder? Offensichtlich nicht, denn (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach. Hier gilt es herauszufinden, was weniger ist: oder? Wenn wir uns daran erinnern, wird klar, dass die Basis kleiner als Null ist. Das heißt, wir wenden Regel 2 an: Das Ergebnis wird negativ sein.

Und wieder verwenden wir die Definition des Grades:

Alles ist wie immer – wir schreiben die Definition der Grade auf und teilen sie durcheinander, teilen sie in Paare auf und erhalten:

Bevor wir uns die letzte Regel ansehen, lösen wir einige Beispiele.

Berechnen Sie die Ausdrücke:

Lösungen :

Was sehen wir hier, wenn wir die achte Potenz ignorieren? Erinnern wir uns an das Programm der 7. Klasse. Also, erinnerst du dich? Dies ist die Formel für die abgekürzte Multiplikation, nämlich die Differenz der Quadrate!

Wir bekommen:

Schauen wir uns den Nenner genau an. Es sieht einem der Zählerfaktoren sehr ähnlich, aber was ist falsch? Die Reihenfolge der Begriffe ist falsch. Wenn sie umgekehrt wären, könnte Regel 3 gelten. Aber wie geht das? Es stellt sich heraus, dass es ganz einfach ist: Der gerade Grad des Nenners hilft uns hier.

Wenn man es mit multipliziert, ändert sich nichts, oder? Aber jetzt kommt es so:

Auf magische Weise wechselten die Begriffe ihre Plätze. Dieses „Phänomen“ gilt in gleichem Maße für jeden Ausdruck: Wir können die Vorzeichen in Klammern leicht ändern. Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: Alle Zeichen ändern sich gleichzeitig! Sie können es nicht ersetzen, indem Sie nur einen Nachteil ändern, der uns nicht gefällt!

Kehren wir zum Beispiel zurück:

Und noch einmal die Formel:

Nun also die letzte Regel:

Wie werden wir es beweisen? Natürlich wie immer: Lassen Sie uns das Konzept des Abschlusses erweitern und vereinfachen:

Nun öffnen wir die Klammern. Wie viele Buchstaben gibt es insgesamt? mal durch Multiplikatoren - woran erinnert dich das? Dies ist nichts weiter als eine Definition einer Operation Multiplikation: Da gab es nur Multiplikatoren. Das heißt, dies ist per Definition eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten:

Beispiel:

Grad mit irrationalem Exponenten

Zusätzlich zu den Gradangaben für das Durchschnittsniveau analysieren wir den Grad mit einem irrationalen Exponenten. Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für einen Grad mit einem rationalen Exponenten, mit der Ausnahme, dass irrationale Zahlen per Definition Zahlen sind, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (d. h , irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen außer rationalen Zahlen).

Bei der Untersuchung von Graden mit natürlichen, ganzzahligen und rationalen Exponenten haben wir jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen erstellt. Beispielsweise ist ein Grad mit natürlichem Exponenten eine mehrfach mit sich selbst multiplizierte Zahl; eine Zahl hoch null ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, d „Leerzahl“, nämlich eine Zahl; ein Grad mit einem ganzzahligen negativen Exponenten – es ist, als ob ein „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.

Es ist äußerst schwierig, sich einen Grad mit einem irrationalen Exponenten vorzustellen (ebenso wie es schwierig ist, sich einen vierdimensionalen Raum vorzustellen). Es handelt sich vielmehr um ein rein mathematisches Objekt, das Mathematiker geschaffen haben, um das Konzept des Grades auf den gesamten Zahlenraum auszudehnen.

In der Wissenschaft wird übrigens oft ein Grad mit einem komplexen Exponenten verwendet, das heißt, der Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl. Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach; Sie werden im Institut die Möglichkeit haben, diese neuen Konzepte zu verstehen.

Was machen wir also, wenn wir einen irrationalen Exponenten sehen? Wir versuchen unser Bestes, es loszuwerden :)

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

1)

2)

3)

Antworten:

1. Erinnern wir uns an die Formel für die Differenz der Quadrate. Antwort: .
2. Wir reduzieren die Brüche auf die gleiche Form: entweder beide Dezimalzahlen oder beide gewöhnlichen. Wir erhalten zum Beispiel: .
3. Nichts Besonderes, wir verwenden die üblichen Eigenschaften von Graden:

ZUSAMMENFASSUNG DES ABSCHNITTS UND GRUNDFORMELN

Grad wird als Ausdruck der Form bezeichnet: , wobei:

Grad mit einem ganzzahligen Exponenten

ein Grad, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (d. h. ganzzahlig und positiv).

Potenz mit rationalem Exponenten

Grad, dessen Exponent negative und gebrochene Zahlen sind.

Grad mit irrationalem Exponenten

ein Grad, dessen Exponent ein unendlicher Dezimalbruch oder eine unendliche Wurzel ist.

Eigenschaften von Graden

Merkmale von Abschlüssen.

• Negative Zahl erhöht auf sogar Grad, - Zahl positiv.
• Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
• Eine positive Zahl ist in jedem Grad eine positive Zahl.
• Null ist gleich jeder Potenz.
• Jede Zahl hoch null ist gleich.

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Und viel Glück bei deinen Prüfungen!

In diesem Artikel werden wir herausfinden, was es ist Grad von. Hier geben wir Definitionen der Potenz einer Zahl und betrachten im Detail alle möglichen Exponenten, beginnend mit dem natürlichen Exponenten und endend mit dem irrationalen Exponenten. Im Material finden Sie viele Beispiele für Abschlüsse, die alle auftretenden Feinheiten abdecken.

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Potenz mit natürlichem Exponenten, Quadrat einer Zahl, Potenz einer Zahl

Lass uns beginnen mit . Nehmen wir für die Zukunft an, dass die Definition der Potenz einer Zahl a mit natürlichem Exponenten n für a gegeben ist, die wir nennen werden Abschlussbasis, und n, die wir nennen werden Exponent. Wir weisen auch darauf hin, dass ein Grad mit einem natürlichen Exponenten durch ein Produkt bestimmt wird. Um das folgende Material zu verstehen, müssen Sie also Kenntnisse über die Multiplikation von Zahlen haben.

Definition.

Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten n ist ein Ausdruck der Form a n, dessen Wert gleich dem Produkt von n Faktoren ist, von denen jeder gleich a ist, also .
Insbesondere ist die Potenz einer Zahl a mit Exponent 1 die Zahl a selbst, also a 1 =a.

Erwähnenswert sind gleich die Regeln für das Lesen von Abschlüssen. Die universelle Schreibweise a n lautet: „a hoch n“. In manchen Fällen sind auch die folgenden Optionen akzeptabel: „a hoch n-tel“ und „n-te Potenz a“. Nehmen wir zum Beispiel die Potenz 8 12, das ist „acht hoch zwölf“ oder „acht hoch zwölfte Potenz“ oder „zwölfte Potenz von acht“.

Sowohl die zweite Potenz einer Zahl als auch die dritte Potenz einer Zahl haben jeweils eigene Namen. Die zweite Potenz einer Zahl heißt Quadriere die Zahl Beispielsweise wird 7 2 als „Sieben im Quadrat“ oder „das Quadrat der Zahl Sieben“ gelesen. Die dritte Potenz einer Zahl heißt Würfelzahlen Beispielsweise kann 5 3 als „fünf gewürfelt“ gelesen werden, oder man kann „Würfel der Zahl 5“ sagen.

Es ist Zeit zu bringen Beispiele für Grade mit natürlichen Exponenten. Beginnen wir mit dem Grad 5 7, hier ist 5 die Basis des Grades und 7 der Exponent. Geben wir ein weiteres Beispiel: 4,32 ist die Basis und die natürliche Zahl 9 ist der Exponent (4,32) 9 .

Bitte beachten Sie, dass im letzten Beispiel die Basis der Potenz 4,32 in Klammern geschrieben ist: Um Unstimmigkeiten zu vermeiden, werden wir alle Basen der Potenz, die sich von natürlichen Zahlen unterscheiden, in Klammern setzen. Als Beispiel geben wir die folgenden Grade mit natürlichen Exponenten an , ihre Basen sind keine natürlichen Zahlen, daher werden sie in Klammern geschrieben. Nun, der vollständigen Klarheit halber zeigen wir an dieser Stelle den Unterschied, der in Datensätzen der Form (−2) 3 und −2 3 enthalten ist. Der Ausdruck (−2) 3 ist eine Potenz von −2 mit einem natürlichen Exponenten von 3, und der Ausdruck −2 3 (er kann als −(2 3) geschrieben werden) entspricht der Zahl, dem Wert der Potenz 2 3 .

Beachten Sie, dass es eine Notation für die Potenz einer Zahl a mit einem Exponenten n der Form a^n gibt. Wenn n außerdem eine mehrwertige natürliche Zahl ist, wird der Exponent in Klammern angegeben. Beispielsweise ist 4^9 eine andere Schreibweise für die Potenz von 4 9 . Und hier sind einige weitere Beispiele für die Schreibweise von Graden mit dem Symbol „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Im Folgenden verwenden wir hauptsächlich die Gradschreibweise der Form a n .

Eines der umgekehrten Probleme zur Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten ist das Problem, die Basis einer Potenz aus einem bekannten Wert der Potenz und einem bekannten Exponenten zu ermitteln. Diese Aufgabe führt zu .

Es ist bekannt, dass die Menge der rationalen Zahlen aus ganzen Zahlen und Brüchen besteht und jeder Bruch als positiver oder negativer gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann. Wir haben im vorherigen Absatz einen Grad mit einem ganzzahligen Exponenten definiert. Um die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten zu vervollständigen, müssen wir daher dem Grad der Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m/n eine Bedeutung geben, wobei m ist eine ganze Zahl und n ist eine natürliche Zahl. Lass es uns tun.

Betrachten wir einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form. Damit die Power-to-Power-Eigenschaft gültig bleibt, muss die Gleichheit gelten . Wenn wir die resultierende Gleichheit und die Art und Weise, wie wir sie bestimmt haben, berücksichtigen, ist es logisch, sie zu akzeptieren, vorausgesetzt, dass der Ausdruck für gegebenes m, n und a sinnvoll ist.

Es lässt sich leicht überprüfen, ob alle Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten gültig sind (dies wurde im Abschnitt Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten durchgeführt).

Die obige Argumentation ermöglicht es uns, Folgendes zu sagen Abschluss: Wenn m, n und a gegeben sind, ergibt der Ausdruck einen Sinn, dann heißt die Potenz von a mit einem gebrochenen Exponenten m/n die n-te Wurzel von a hoch m.

Diese Aussage bringt uns der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten nahe. Es bleibt nur noch zu beschreiben, bei welchen m, n und a der Ausdruck Sinn macht. Abhängig von den Einschränkungen für m, n und a gibt es zwei Hauptansätze.

Der einfachste Weg besteht darin, a eine Einschränkung aufzuerlegen, indem man a≥0 für positives m und a>0 für negatives m annimmt (da für m≤0 der Grad 0 von m nicht definiert ist). Dann bekommen wir folgende Definition Grad mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Potenz einer positiven Zahl a mit gebrochenem Exponenten m/n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, heißt die n-te Wurzel der Zahl a hoch m, also .

Die gebrochene Potenz von Null wird ebenfalls bestimmt, mit der einzigen Einschränkung, dass der Indikator positiv sein muss.

Definition.

Potenz von Null mit gebrochenem positivem Exponenten m/n, wobei m eine positive ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, ist definiert als .
Wenn der Grad nicht bestimmt ist, also der Grad der Zahl Null mit einem gebrochenen negativen Exponenten, ergibt dies keinen Sinn.

Es ist zu beachten, dass es bei dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten eine Einschränkung gibt: Für einige negative a und einige m und n ist der Ausdruck sinnvoll, und wir haben diese Fälle verworfen, indem wir die Bedingung a≥0 eingeführt haben. Beispielsweise sind die Einträge sinnvoll oder , und die oben gegebene Definition zwingt uns zu sagen, dass Potenzen mit einem gebrochenen Exponenten der Form sind machen keinen Sinn, da die Basis nicht negativ sein sollte.

Ein anderer Ansatz zur Bestimmung eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten m/n besteht darin, gerade und ungerade Exponenten der Wurzel getrennt zu betrachten. Dieser Ansatz erfordert Zusätzlicher Zustand: Die Potenz der Zahl a, deren Exponent ist, wird als Potenz der Zahl a betrachtet, deren Exponent der entsprechende irreduzible Bruch ist (wir werden die Bedeutung dieser Bedingung weiter unten erklären). Das heißt, wenn m/n ein irreduzibler Bruch ist, dann wird für jede natürliche Zahl k zunächst der Grad durch ersetzt.

Für gerades n und positives m ist der Ausdruck für jedes nicht negative a sinnvoll (eine gerade Wurzel einer negativen Zahl macht keinen Sinn); für negatives m muss die Zahl a immer noch von Null verschieden sein (andernfalls kommt es zu einer Division). durch Null). Und für ungerades n und positives m kann die Zahl a beliebig sein (die Wurzel eines ungeraden Grades ist für jede reelle Zahl definiert), und für negatives m muss die Zahl a von Null verschieden sein (damit es keine Division durch gibt). null).

Die obige Überlegung führt uns zu dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Sei m/n ein irreduzibler Bruch, m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl. Für jeden reduzierbaren Bruch wird der Grad durch ersetzt. Die Potenz einer Zahl mit einem irreduziblen gebrochenen Exponenten m/n ist für



Lassen Sie uns erklären, warum ein Grad mit einem reduzierbaren gebrochenen Exponenten zunächst durch einen Grad mit einem irreduziblen Exponenten ersetzt wird. Wenn wir den Grad einfach als definieren und keinen Vorbehalt hinsichtlich der Irreduzibilität des Bruchs m/n machen würden, dann stünden wir vor ähnlichen Situationen: Da 6/10 = 3/5, muss die Gleichheit gelten , Aber , A .

Lektion und Präsentation zum Thema: „Exponent mit negativem Exponenten. Definition und Beispiele zur Problemlösung“

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Gradbestimmung mit negativem Exponenten

Leute, wir sind gut darin, Zahlen zu potenzieren.
Zum Beispiel: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Wir wissen genau, dass jede Zahl hoch null gleich eins ist. $a^0=1$, $a≠0$.
Es stellt sich die Frage: Was passiert, wenn man eine Zahl negativ potenziert? Was ist zum Beispiel die Zahl $2^(-2)$?
Die ersten Mathematiker, die diese Frage stellten, entschieden, dass es sich nicht lohnte, das Rad neu zu erfinden, und dass alle Eigenschaften der Grade gleich blieben. Das heißt, wenn Potenzen mit derselben Basis multipliziert werden, addieren sich die Exponenten.
Betrachten wir diesen Fall: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Wir haben herausgefunden, dass das Produkt solcher Zahlen eins ergeben sollte. Die Einheit im Produkt erhält man durch Multiplikation der Kehrzahlen, also $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Diese Überlegungen führten zu der folgenden Definition.
Definition. Wenn $n$ eine natürliche Zahl ist und $a≠0$, dann gilt die Gleichheit: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Eine wichtige Identität, die häufig verwendet wird, ist: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Insbesondere $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Beispiele für Lösungen

Beispiel 1.
Berechnen Sie: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Lösung.
Betrachten wir jeden Begriff einzeln.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Es müssen noch Additions- und Subtraktionsoperationen durchgeführt werden: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Antwort: $6\frac(1)(4)$.

Beispiel 2.
Stellen Sie die gegebene Zahl als Potenz einer Primzahl $\frac(1)(729)$ dar.

Lösung.
Offensichtlich ist $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Aber 729 ist keine Primzahl, die auf 9 endet. Man kann davon ausgehen, dass es sich bei dieser Zahl um eine Dreierpotenz handelt. Teilen Sie 729 konsequent durch 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Es wurden sechs Operationen durchgeführt und das bedeutet: $729=3^6$.
Für unsere Aufgabe:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Antwort: $3^(-6)$.

Beispiel 3. Drücken Sie den Ausdruck als Potenz aus: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Lösung. Die erste Aktion wird immer in Klammern ausgeführt, dann die Multiplikation $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Antwort: $a$.

Beispiel 4. Beweisen Sie die Identität:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2 )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Lösung.
Auf der linken Seite betrachten wir jeden Faktor in Klammern separat.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Fahren wir mit dem Bruch fort, durch den wir dividieren.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Machen wir die Division.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Wir haben die richtige Identität erhalten, was wir beweisen mussten.

Am Ende der Lektion werden wir noch einmal die Regeln für die Arbeit mit Potenzen aufschreiben, hier ist der Exponent eine ganze Zahl.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen

1. Berechnen Sie: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Stellen Sie die gegebene Zahl als Potenz einer Primzahl $\frac(1)(16384)$ dar.
3. Drücken Sie den Ausdruck als Potenz aus:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Beweisen Sie die Identität:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.